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1、2009年 第 5期解题研究中小学数学 高中版圆 系 方 程 法 释 疑湖北省巴东县教育局( 444300) 高卫东湖北省巴东县第一高级中学( 444300) 乔 凤利用各种“圆系方程” 来解某些关于圆与圆, 圆 与直线相交或相切的解析几何习题, 能简化解题步骤, 快速而准确地得到结果. 但是, 教师往往没太注意 给学生介绍这种方法的方式和时机, 使很多学生对此 方法只是一知半解, 影响其正确和灵活运用. “百度知道” 中就看到有不少网友( 学生)提过相关问题. 从所 提的问题可见提问者初次接触此方法时感到一头雾水, 没有真正理解和掌握. 而所提供的答案也没有解 释透彻, 大多是含糊其词. 如
2、一位网友提到 “圆系方程 是怎么得来” 的问题, 而“楼主”所推举的最佳答案只是说明这种组合的方程代表的曲线( 其实并不一定是 圆)过已知两圆的交点. 还有一位网友出示一道要求用圆系方程解答的习题, 最终没有求得满意答案, 只 好对避开圆系方程的作答者无奈地回道: “最佳答案给你好了, 反正没有人按要求答. ” 教材中并没有 “圆系” 这个概念. 笔者认为, “圆 系”一词只是在解题过程中进行分析和思考时引用的技巧性术语, 而正式书面答题时大可不必使用该词 ( 当然用亦无妨) . 因此本文对“圆系 ” 的概念不下精确定义, 也不作深究, 只作以描述. 从一般意义上说, 圆的方程中有不确定的参数
3、, 当参数变化时就得到一 系列圆, 这些圆构成的集合就是一个圆系, 这个带参数的方程就是该圆系方程. 在实际问题中, 往往遇到 的是所针对的圆符合某些条件, 但又不能足以有限确定, 这些圆的集合就构成一个圆系. 如果有一种特定 形式的方程, 使圆系中每一个圆都可以通用, 就把这种形式的方程作为该圆系的方程. 把利用“圆系方程” 解题的方法简称“圆系方程法”. 这类题型中根据题设 的不同, 经常采用的圆系方程形式有很多种. 有些形式比较好理解, 如以定点 C ( 1, 2)为圆心的圆系方程 ( x -1)2+( y-2)2=m( m0) , 其参数 m有明确具 体的几何意义, 即半径的平方, 易
4、于被学生理解和接受. 而有些圆系方程形式就没有这样一目了然, 学生 初次接触感到疑惑不解. 如交( 切) 于相交( 切) 圆 C1: x2+y2+D x+E y+F=0与直线 l : A x+B y+C=0 的相同交( 切) 点的圆系方程为: x2+y2+D x+E y+F + ( A x+B y+C )=0; 交 ( 切)于相交( 切)圆 C1: x2+y2+D1x+E1y +F1=0与 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的相同交( 切) 点的圆系方程为: x2+y2+D1x +E1y+F1+ ( x2+y2+D2x+E2y+F2)=0( -1) , 此圆系方程中不包含圆 C2, 直
5、接应用该圆系方 程, 必须检验圆 C2是否满足题意 . 其中 是待定参数, 从题设中给出的其它条件来确定 ( 计算)其具体取值, 并没有确切的几何意义. 作为学生初次接触, 如果 教师直截了当地介绍, 学生会有突如其来的感觉. 在今后遇到类似问题时只好生搬硬套地应用, 经多次机 械性地强化训练, 也算勉强接受了这种方法. 在学生将信将疑地把结果计算出来后不免要问, 这是原题所 要求的结果吗?经检验也正是所求, 然而对如此简捷的方法叹服之余, 还是疑虑难消. 本文以最为典型的情形“过已知两圆的两交点的 圆系” 为例进行探讨, 谈谈如何使学生易于理解和接受“圆系方程法”. 怎样想到可以设成这种形式
6、?为什 么可以这样设立?学生产生困惑的主要原因是感到突然, 对此, 通过下面例 1来缓冲将产生明显效果. 例 1 已知 C1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0交于两点. 求证方程 x2+y2+D1x+E1y+F1+ ( x2+y2+D2x+E2y+ F2)=0( -1)所表示的曲线也是圆, 并且经过 C1与 C2的两个交点. 本例证明很简单, 在此省略. ( 为省篇幅, 本文所 举各例只作必要分析而不陈述详细解答过程) 例 1所 述特性甚至 可以扩 展到一 般情 形: 对 于曲线 S1: f ( x , y )=0和曲线 S2: g ( x
7、, y )=0, 设 a , b 不全为 0. 则 S1和 S2的公共点也在方程 a f ( x , y )+b g ( x , y )=0所 表示的曲线 S 上. 可描述为: “两曲线方程的线性组合所代表的曲线也经过这两曲线的每一个交点”. 对此 作以简要证明: 假设 P ( x0, y0)是曲线 S1和 S2的任意 公共点 , 其坐标既满足 S1的方程又满足 S2的方程, 即 f ( x0, y0)=0, g ( x0, y0)=0. 显然 a f ( x0, y0)+b g ( x0, y0) =0, 说明 P ( x0, y0) 在曲线 S 上. 为叙述方便, 把曲线 S 称作 S1和
8、 S2的线性组合, 所有 S 组成的集合称作 S1和 S2组建的曲线系. 如, 把交( 切) 于相交( 切) 的圆与直 线相同交( 切) 点的圆系 ”简称为圆与直线组建的圆系. 其实还可以研究任意两曲线( 包括直线 )组建的 曲线系的性质. 如, 没有公共点的两曲线的线性组合,39中小学数学 高中版解题研究2009年 第 5期或者是这两曲线之一, 或者与这两曲线都没有公共 点, 或者不代表任何曲线( 新组合的方程无解) .如果在介绍“圆系方程法” 之前通过这种题型作 为铺垫, 平顺过度到“圆系方程法” 的引用, 学生知道这样设立的缘由, 就能顺其自然地接受. 不过, 由于学 生联想到已学过的“
9、充分条件” 与 “必要条件” 的概念, 不免又萌生疑问: 通过例 1只能说明“曲线 S 的方 程形如 f ( x , y )+ g ( x , y )=0”是“曲线 S 通过曲线 S1 和 S2的各个交点” 的充分条件, 并不能保证所有过曲 线 S1和 S2各个交点的曲线都可写成 f ( x , y )+ g ( x , y ) =0的形式. 当 S 与 S1或 S2不属于同一类曲线时, 这 问题就显而易见. 比如 S1和 S2是圆, 而 S 是椭圆, 很明 显这种形式的方程只可能是圆或直线, 无论如何不会 是椭圆. 即便是同类, 其方程也未必能以 f ( x , y )+ g ( x , y
10、 )=0的形式来表示. 学生的担忧是可以理解 的, 其疑虑的萌生正体现了学生思维的严密性在逐渐形成. 以下例 2说明了这点. 例 2 已知 C1: x2+y2-6x=0, C2: x2+y2-4 =0, 求经过 C1与 C2的两交点, 且过点 P ( 1,3) 的圆的方程.分析: 用“圆系方程法”, 设所求圆的方程为 C :x2+y2-6x + ( x2+y2-4)=0. 将 P ( 1,3) 的坐标 代入方程结果得到一个矛盾等式:-2 +0=0, 无法求解待定参数 , 或者说所要求的圆的方程根本不能 这样表示. 而事实上已知条件中的 C2: x2+y2-4 = 0就是所要求的答案. 在过 C
11、1与 C2两交点的圆 中, 究竟哪些圆的方程可以这样表示, 而哪些又不能? 下面作进一步讨论. 设 C1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0. 两圆相交, C过 C1与 C2两交点, 其方程为 x2+y2+D x+E y+F=0. 现在分析讨论在什么情况下存在一个实数 ( -1) , 使 可以变换成 x2+y2+D1x+E1y+F1+ ( x2+y2+D2x+E2y +F2)=0. 设 C1与 C2交于 P 、Q两点, 由 -, -, 分别得到 ( D-D1) x+( E-E1) y+( F-F1)=0, ( D2-D ) x+( E2-E )
12、 y+( F2-F )=0.当 C 既不是 C1也不是 C2时, 和 两式 中各项系数分别不全为 0, 从而各代表一条直线. 又因 为 P 、Q两点坐标既满足方程 , 也满足方程 , 所以 是同一条直线, 则对应系数成比例. 即存在实数 , 使得 D-D1= ( D2-D ) , E-E1= ( E2-E ),F-F1= ( F2-F ) . 也就是: ( 1 + ) D=D1+ D2,( 1 + ) E=E1+ E2, ( 1 + ) F=F1+ F2. 由于 C1与 C2是两个不同的圆, 所以 -1( 否则从上三等式就得出 D1=D2, E1=E2, F1= F2, C1与 C2成了同一个
13、圆) , 将 式两边同乘以 不为 0的( 1 + ) , 并将以上三等式代入 整理即得 式. 当 C 是 C1时, 在 中直接取 =0就是 C1 的方程 , 即可表示成 式. 当 C 是 C2时, 必有 D=D2, E=E2, F=F2. 假如有 ( -1) 使 变成 式, 在 两边同除以 不为 0的( 1+ ) , 与 比较系数, 必有 D1=D2, E1= E2, F1=F2, 即 C1与 C2必须是同一个圆. 而已知 条件是两圆相交, 与题设矛盾, 说明在此情形 不能 表示成 . 前面的例 2正是这种情况. 综上所述, 在过 C1与 C2两交点的圆中, 除了 C2这一个圆外, 其它的都可
14、以写成 的形式. 既然 如此, 对于此类题型只要弄清 C 是否为 C2之后就 可以放心大胆地采用形如 式的圆系方程. 这种圆系 方程法要考虑 C2是否满足, 以防遗漏, 形象地说, 要 特别注意参数 后面括号里部分对应的圆 . 其实在具体问题中, 如果已知两圆中也有所针对的圆, 在多数 情况下是很容易被发现的. 为防遗漏 C2还有几个手段: 一个是若能在解题 前通过分析确定两已知圆其一不是所要求或所针对 的圆, 就把它作为 C2, 即 式中参数 所乘的括号 里放置该圆方程左边部分; 再一个就是这两个圆事先 都不能确定是否是所要求或所针对的圆, 就把 中两 方程的位置交换后再求解一次. 道理很简
15、单, 只排 除 , 交换后的圆系方程只排除 , 那么二者合起来就全包含在内. 此外, 如果把 C的方程设为 C1与 C2两方程的线性组合, 即: a ( x2+y2+D1x+E1y+ F1)+b ( x2+y2+D2x+E2y+F2)=0( a -b ) , 这 样绝无遗漏. 虽然需要的是 a 与 b 的比值, 但涉及到两 个参数 , 对计算会有所不便, 所以不常采用. 以上讨论了 “过两圆交点的圆系方程 ” 问题, 其 推导步骤除了“交” 与“切” 的区别外, 完全可以照搬 到“与相切的两圆切于同一切点的圆系方程” 问题之 中. 这两个问题都归结为 “两圆组建的圆系方程 ” 问 题. 而对于
16、“圆与直线组建的圆系方程 ” 的推导与此 基本同理, 似乎更为简单一些. 应该指出, 各种 “圆系 方程法”之间还可以互相转化. 如过 C1与 C2交点 的圆系可转化为过 C1与两圆公共弦所在直线的交 点的圆系问题, 从而巧妙避开对 C2的讨论. 在此作 简要说明: 与 相减即得 C1与 C2公共弦所在 的直线方程: ( D1-D2) x+( E1-E2) y +( F1-F2)= 0, 那么过 C1与 C2两交点的圆系方程就可以设 为: x2+y2+D1x+E1y+F1+ ( D1-D2) x+( E1-402009年 第 5期解题研究中小学数学 高中版E2) y+( F1-F2) =0, 而且包含所有过 C1与 C2 两交点的圆, 无需顾虑有所遗漏.可以对下面例
