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1、179高等数学参考资料 第三篇第三篇 多元函数微积分多元函数微积分第九章 级数 1 数项级数 习 题1.讨论下列级数的收敛性。若收敛，试求出级数之和。=+1)1(nnn;=11nnn;=1312nnn;=+1)122(nnnn;=+1) 15)(45(1nnn=+1132nnn;=+1)2)(1(1nnnn;=1221arctannn;【解】. (1) 发散; (2) 发散; (3) 1 ; (4) 21;(5) 51; (6) 发散; (7) 41;(8) 4, 提示: 利用121arctan121arctan21arctan2+=nnn.2. 设抛物线nl ：nnxy12+= 和 nl：1
2、1) 1(2 +=nxny 的交点的横坐标的绝对值为na （?, 2 , 1=n）。(1) 求抛物线nl与nl所围成的平面图形的面积nS;(2) 求级数=1nnn aS的和.【解】 (1) 11) 1(122 +=+nxnnnx, nnx += 21,=nSdxnxnnnxnnnn+ +221122 11) 1(1nnnnnnnn+ + += 2232) 1(22)(32nnnn+= 2) 1(34.(2) =1nnn aS=+=134 ) 1(34nnn.3. 利用 Cauchy 收敛原理证明下述级数发散：180 1+21-31+41+51-61+71+81-91+; 1-21+31+41-
3、51+61+71-81+91+;【解】 (1) 对于21=, 任意的正整数K,取KN 且为3的倍数, 则|4NNaa ?+=31 21 11 NNNNNN41 141 241+241 71 41 11 +NNNN?21 243NN.因此级数发散. (2) 类似(1) 的方法|4NNaa ?+=31 21 11 NNNNNN41 141 241+NNNN41 91 61 31+?21 43NN.4 .讨论下列正项级数的收敛性：=1!1nn;=11nnn;=1)cos1 (nn;=12lnnnn;=+1414nnn;=+1)2(ln1nnn;) 1(1=nnn;nnnn= +113;=122nnn
4、;=+1122) 1(2nnnn ;=12ennn;=+ 112tannnn;=+122)11(nnn;=+122)112(nnnn;=+22211lnnnn= 11 cos2nn ne；=2lnlnln1nnnn;)0(lnln)(ln121=+pnnnnp。【解】(1) 收敛; (2) 收敛; (3) 收敛;181(4) =1n2ln nn, nn nnnln1ln2=nn n1nnan;(8) 发散; (9) 收敛; (10 收敛; (11) 收敛; (12) 收敛;(13) =1n()1122+nn, ()1122+nn 11222+= nn. 发散;(14) =1n()11222+n
5、nn () ()1122+=nnnn 112+= nnnn+ 112()()()111122222+= nnnnnn收敛;(15) 收敛;(16)nencos21 + +=322321 21111nonnon+=3221 22 non, 收敛;(17) 发散;(18) 收敛; 提示: 当een 时, ppnnnnn+n时210 x. xxx21)43()41(22)1(22sinsinkkkkxxdxxx+)43()41(221kkx2) 1(2122 +k2) 1(41 +=k, =na=nndxxx222sin=+122) 1(41nnkk2)2(41)12(nnn nM, 因此级数发散.
6、 ;(3) xx P时级数=1npn nx收敛; 但210+nn xxnn, 1121n xxn+, 而=11nn发散, 因此结论成立.10. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛)183=+11sin) 1(nn nx;=+12 1sin2) 1(nnn n nx;=111 3) 1(nnnn;1-!21+31-!41+51;=+11) 1(nnxn(0x);=13cos1nnn;=+11 !2) 1(2nn n n;=22ln) 1(nn nn;nnnnxn=+12 1 2) 1(;=2lnnqpnnnx;*)0(1) 1(11 +=+ aaa nnnn ；*=+1)1sin(nn
7、nn 。【解】 (1) 当 kx 时, 条件收敛; (2) 当 1sin22x时发散; (3) 绝对收敛;(4) ?+! 61 51 ! 41 31 ! 211=1121nk发散 ,()=1!21nk收敛, 因此原级数发散;(5) 条件收敛; (6) =nkkaa1cos2sin =nkkaa1cos2sin = +=nkakak121sin21sin21 +=aan21sin21sin212sin2) 1(cosnaan+=, =nkka1cos2sin2) 1(cos2sinaanna+= 3=a, =nkk13cos6sin6) 1(cos6sin+=nn2, 有界, 而 n1是单调趋于
8、零. 于是根据Dirichlet判别法, 级数收敛; 但3cos11knk=发散, 条件收敛; (7) =+11 !2) 1(2nn n n,11212 1+=+ + naannn, 发散, 利用11+nn aa; (8) 条件收敛; (9) , 2|qp情况. 1|p绝对收敛, 1=p, 1q绝对收敛, 特别，1=x时, 10a时绝对收敛, 10x, 因此 nn1cos单调下降趋于零. 因此=11cossinnnnn 也收敛, 因此原级数也收敛.11. 设0nx, lim nxn = 0，问交错级数n nnx=+11) 1(是否收敛?【解】 不一定. 例级数 ?+04103102101发散.
9、12. 若级数=1nnx收敛，lim nnn yx= 1，问级数=1nny是否收敛? 研究例子nxnn1) 1(=，nxynn1+=。【解】 不一定. 本题的例有=11) 1(nnn收敛, 但= +111) 1(nnnn发散.13设正项数列na单调减少，且=1) 1(nnna发散，试问级数nnna= +111是否收敛？并说明理由。185【解】由于设正项数列na单调减少，且=1) 1(nnna发散, 因此数列na有界且不趋于零(否则n nnx=+11) 1(收敛), 即0lim= can n, 于是nac ，证明级数=1nn na收敛。【解】 (1) 2+nnaa dxxxn+=4 02)tan
10、1 (tandxxxn=4 02sectanxdxntantan4 0=4011tan+=+nxn11 +=n, 于是=+12nnn naa=+=1) 1(1nnn1=.(2) =1nn na=+1) 1(1nnn, 而+ x , 0x; (2) 12 ba;=+1nnnnbax)0( ba。187. 【答案】 (1) 1=r, 64+nne, 即nnaa+1, 级数发散.或利用公式nnnn ennn122! +=, 10 0）; =0, 00,e)(2xxxfx ;f xxx( )ecos| |=.【解】(1) 222)(saasF+=; (2) is+21; (3) 22) 1(11 )
11、1(11 +ss.2. 设f是),(+上绝对可积的可导函数。 证明f是偶函数时的Fourier积分f x( )+= 00coscos)(2dxdtttf; 证明f是奇函数时的Fourier积分f x( )+= 00sinsin)(2dxdtttf .【解】由于可导一定连续, 因此 =+dttfdtxi)(e)(21)(xf,即()+=dttxitxtfdxf)(sin)(cos)(21)(,txtxtxsinsincoscos)(cos+=, txtxtxsincoscossin)(sin+=, 于是(1) 当)(xf是偶函数时, 0sin)(=dtttf,0sin=dxx, 上式变为)(xf
12、+= 00coscos)(2dxdtttf.(2) 当)(xf是奇函数时, 0cos)(=dtttf,0sin=dxx, 上式变为)(xf+= 00sinsin)(2dxdtttf.3利用1（1）和2（1）证明（1）;2cos|022xedx +=+（2）设是), 0 +上绝对可积的可导函数，197+= 0211)cos()(xdyxyy （0x），求)(x.【解】(1) 利用习题1（1）和2（1）=dsesfxfFisx)( 21)(1 , 则| 222 21xaisxedsesaa=+, 于是|0222cosxedx +=+;(2) 在 1(1)中, 1=a,xe+= 00coscos2dxdttex, 而20111cos1 +=dttet, 于是|)(xex=.4. 证明离散的正交关系式kjNkniNnNjniN,2102ee1=.【解】NkniNnNjni2102ee=()=102 eNnnjkiN , 注意到ijkNe)(2 当jk 时， 是方程01=Nz的根， 于是当jk 时()=102 eNnnjkiN11)(2)(2 = ijkNN ijkNee0=， 当jk =时， 和式的每一项均为1于是()=102 eNnnjkiN N=.
