十章边界层理论

1第十章 边界层理论基础第十章 边界层理论基础基本内容基本内容1.边界层动力学方程；边界层动力学方程；2.不可压流体层流边界层的相似求解；不可压流体层流边界层的相似求解；3.卡门动量积分关系式卡门动量积分关系式4.边界层内的流动与分离原理；边界层内的流动与分离原理；5.绕平板定常湍流边界层求解绕平板定常湍流边界层求解10.1 牛顿流体大雷诺数的定常绕流10.1 牛顿流体大雷诺数的定常绕流无量纲方程：取无量纲方程：取εε=1/Re 为小参量对流动变量作常规的摄动展开若忽略质量力，常物性的不可压定常流动的 N-S 方程可写成 ：10.1.1 高雷诺数流动常规摄动的奇异性为小参量对流动变量作常规的摄动展开若忽略质量力，常物性的不可压定常流动的 N-S 方程可写成 ：10.1.1 高雷诺数流动常规摄动的奇异性221jiiji jxu xp xuuLxxupppuuu,,2  jjiiji jxxu xp xuu2Re1参量无量纲化：参量无量纲化：)2(2)1()0()2(2)1()0(ppppuuuuiiii  令：令：代入无量纲方程，再按代入无量纲方程，再按εε0,εε1阶展开，忽略高阶小量则有阶展开，忽略高阶小量则有0,)0()0()0( )0(  iiiji jxu xp xuu0)1()0(2)1()1( )1()1( )0(   iijjiiji j ji jxuxxu xp xuuxuu零阶方程：一阶方程：零阶方程：一阶方程：显然，显然，εε0 阶方程是欧拉方程，即大雷诺数的常规摄动近 似是理想流动，它不满足固壁无滑移条件。

因此，常规摄动展 开得到的低阶近似方程在固壁处有奇异点，不能描述壁面的真 实流动阶方程是欧拉方程，即大雷诺数的常规摄动近 似是理想流动，它不满足固壁无滑移条件因此，常规摄动展 开得到的低阶近似方程在固壁处有奇异点，不能描述壁面的真 实流动10.1.2普朗特理论 —— 有粘、无粘流动的渐进衔接方法普朗特于1904年提出边界层概念，用量级分析方法导出 边界层方程 ：定常绕流中流体粘性只在贴近壁面极薄的一层 —— 边界层 内主宰流体运动，边界层外的流动可近似为无粘的理想流动10.1.2普朗特理论 —— 有粘、无粘流动的渐进衔接方法普朗特于1904年提出边界层概念，用量级分析方法导出 边界层方程 ：定常绕流中流体粘性只在贴近壁面极薄的一层 —— 边界层 内主宰流体运动，边界层外的流动可近似为无粘的理想流动1）两种尺度的分区流动现象（1）两种尺度的分区流动现象流动的两个区域平壁面绕流的边界层设均匀定常来流绕过极薄的平板，流动的特征雷诺数很 大平板展向无限长，流动是二维的流动的两个区域平壁面绕流的边界层设均匀定常来流绕过极薄的平板，流动的特征雷诺数很 大平板展向无限长，流动是二维的内区：贴近壁面很小的几何尺度外区尺度无量纲化：外区：常规几何尺度 内区：贴近壁面很小的几何尺度外区尺度无量纲化：外区：常规几何尺度L, 速度尺度速度尺度u∞∞xuLRe,Re1),1(~2,,,, uppuvvuuuLyyLxx2~,~,~,~,~uppuvvuuuLy LyyLxx内区尺度无量纲化：渐进衔接条件：内区解的外极限等于外区解的内极限内区尺度无量纲化：渐进衔接条件：内区解的外极限等于外区解的内极限),()~,~(~limlim 0~yxuyxuyy),()~,~(~limlim 0~yxpyxpyy（（2））Re>>1 的内外区摄动展开方程外区无量纲方程：按上面定义的无量纲量得到在内外区的表达式的内外区摄动展开方程外区无量纲方程：按上面定义的无量纲量得到在内外区的表达式)(Re1)(Re1022222222      yv xv yp yvvxvuyu xu xp yuvxuuyv xu2内区无量纲方程:内区无量纲方程:由内区的连续性方程由内区的连续性方程)~~1 ~~ (Re1 ~~1 ~~~ ~~~)~~1 ~~ (Re1 ~~ ~~~ ~~~0~~1 ~~2222222222yv xv yp yvv xvuyu xu xp yuv xuuyv xu)(~~~ ) 1 (~~~1) 1 (~~~) 1 (~~) 1 (~~oyvoyvoxuoLxxouuu )(~~) 1 (~~ovoLyy为使也具有为使也具有O(1) 的量阶，对内层无量纲速度重新定义，令，则内层的无量纲方程改写为:注意到，从上述分析中可见，在的量阶，对内层无量纲速度重新定义，令，则内层的无量纲方程改写为:注意到，从上述分析中可见，在 x 方向的动量守恒方程中方向的动量守恒方程中v~uvv~)~~1 ~~ (Re~~1)~~~~~~()~~1 ~~ (Re1 ~~ ~~~~~~0~~ ~~2222222222yv xv yp yvvxvuyu xu xp yuvxuuyv xu Re122222 ~~1 ~~yu xu  y 方向的动量守恒方程将方向的动量守恒方程将y 方向的动量守恒改写为，表明边界层内，压力只 沿流向变化，法向为常数，此时内层的方程简化为：方向的动量守恒改写为，表明边界层内，压力只 沿流向变化，法向为常数，此时内层的方程简化为：)~~1 ~~ (Re~~ )~~~~~~(222222 2 yv xv yp yvvxvu 相对于相对于 x 方向的动量守恒而言，方向的动量守恒而言， y 方向的动量守恒是在方向的动量守恒是在εε2量阶上 的守恒。

量阶上 的守恒 0~/~yp0~~~~ ~~ ~~~~~~0~~ ~~22ypyu xp yuvxuuyv xu 说明：此处实际上是用了量 阶分析的方法取得了内层方 程 —— 边界层方程按摄 动法得到的说明：此处实际上是用了量 阶分析的方法取得了内层方 程 —— 边界层方程按摄 动法得到的ε ε0 0 阶方程也与上 述方程相同按摄动法还可 得到更高阶的边界层方程阶方程也与上 述方程相同按摄动法还可 得到更高阶的边界层方程a . 首先利用理想流体边界条件求解物体绕流问题的势流方程， 得到全场无粘流解势函数（无量纲方程中）边界层理论的主要结论：a . 首先利用理想流体边界条件求解物体绕流问题的势流方程， 得到全场无粘流解势函数（无量纲方程中）边界层理论的主要结论：a . Re>>1时，边界层横向尺度1时，边界层横向尺度b . ，边界层内压力可由主流区得到边界层内压力可由主流区得到c . ，，可忽略流动方向的粘性力项在数学上看，不可压流体定常流动的边界层方程是抛物型方程。

可忽略流动方向的粘性力项在数学上看，不可压流体定常流动的边界层方程是抛物型方程  yvxu,Re1 L 0/yp2222 ~~ ~~yu xu （3）绕流问题的内外区耦合求解求解的具体步骤：势函数（无量纲方程中）（3）绕流问题的内外区耦合求解求解的具体步骤：势函数（无量纲方程中）φφb . 以无粘流解物面的流动参数为边界层方程的外边界条件，求 解边界层方程即将无粘流边界的压力按伯努利方程算出，它 等于边界层内的压力利用边界层边缘处b . 以无粘流解物面的流动参数为边界层方程的外边界条件，求 解边界层方程即将无粘流边界的压力按伯努利方程算出，它 等于边界层内的压力利用边界层边缘处   xduuxdppxuxpe ee0)0 ,(21)0 ,(   xduuxdpxpxpe e);0 ,()~(~代入边界层方程,得: 代入边界层方程,得: 22 ~~ ~~~~~~~0~~ ~~yu xdduuyuvxuuyv xue e 0~~, 0~vuy)(~,~xuuyeB.C. ：壁面条件:内外区衔接条件:B.C. ：壁面条件:内外区衔接条件:边界层方程的有量纲形式 :边界层方程的有量纲形式 :220yu dxduuyuvxuuyv xue e0, 0vuy)(,xuyyec. 高阶耦合解第一种方法：用摄动展开的高阶方程第二种方法：对上述计算进行修正，以边界层外边界进行 计算c. 高阶耦合解第一种方法：用摄动展开的高阶方程第二种方法：对上述计算进行修正，以边界层外边界进行 计算10.1.3 边界层厚度δ的各种意义边界层厚度δ的各种意义310.1.4 边界层厚度的各种意义δ（边界层厚度的各种意义δ（1）边界层名义厚度 δ：以）边界层名义厚度 δ：以u=0.99ue位置和壁面间的距离定义为边界层名义厚度。

以平板绕流估计边界层名义厚度量阶位置和壁面间的距离定义为边界层名义厚度以平板绕流估计边界层名义厚度量阶δδxyue单位体积流体的惯性力单位体积流体的惯性力LuVVe/~2单位体积流体的粘性力单位体积流体的粘性力VV 22/~euVV2惯性力与粘性力在边界层中具有同量阶，即惯性力与粘性力在边界层中具有同量阶，即LuL uLu LueeeeRe,Re~~221Re1~LL高雷诺数条件下，边界层厚度 远小于被绕物体的特征长度高雷诺数条件下，边界层厚度 远小于被绕物体的特征长度10.1.4边界层厚度的各种意义δ（边界层厚度的各种意义δ（2）边界层排挤厚度（位移厚度）δ）边界层排挤厚度（位移厚度）δ1单位时间内通过边界层某一截面的流体若为理想流体，则其质 量流量应为单位时间内通过边界层某一截面的流体若为理想流体，则其质 量流量应为 0dyue由于粘性，实际通过的流体质量由于粘性，实际通过的流体质量 0udy二者之差是因存在粘性而减少的流 量，这部分流量只能被排挤到主流中去， 即向当于主流区中增加了厚度为δ二者之差是因存在粘性而减少的流 量，这部分流量只能被排挤到主流中去， 即向当于主流区中增加了厚度为δ1 1的一层 流体。

又称边界层流量排挤厚度的一层 流体又称边界层流量排挤厚度 001udydyuuee 001)1 ()1 (dyuudyuuee10.1.4边界层厚度的各种意义δ边界层厚度的各种意义δ（（3）动量损失厚度δ）动量损失厚度δ2单位时间内通过边界层某一截面的流体质量单位时间内通过边界层某一截面的流体质量 0udy若为理想流体，则应具有的动量是若为理想流体，则应具有的动量是 0udyue二者之差是由于粘性而产生的动量损失，这部分损失相当于以主流流速二者之差是由于粘性而产生的动量损失，这部分损失相当于以主流流速ue通过厚度为δ通过厚度为δ2的理想流体具有的动量的理想流体具有的动量 0022uudyudyuuee 002)1 ()1 (dyuu uudyuu uueeee10.1.4边界。