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1、高等数学高等数学竞赛试题竞赛试题 5 答案答案1计算， （a0，b0）2222,max0 0abb xa ydxedy解：原积分=22222222000000baaxababyb xa yb xa yabbx abdxedydxedyxedxdyedxa=2 22 22 2111(1)(1)(1)22a ba ba beeeababab2. 设幂级数的系数满足， ，n=1，2，3，求此幂级数的和函数。0n n na x02a ( )s x11nnnaan解：则0( ),n n ns xa x111 1 111( )(1)nnn nn nnns xna xaxnx 1 2 0( )(1)( )(
2、1)nnxs xnxs xx 即，且2( )( )(1)xs xs xx(0)2osa解方程 由1( )1xs xcex(0)1s1( )1xs xex3. 已知二阶可导，且，( )f x( )0f x 2( ) ( )( )0fx f xfxxR（1）证明 ， 212 12() ()()2xxf xf xf12,x xR（2）若，证明(0)1f(0)( ),fxf xexR证明：（1）记 则 ( )ln( )g xf x( )( )( )fxg xf x22 ()( )0fffgxf即 1212()()()22g xg xxxg212 12() ()()2xxf xf xf2 22 2( )
3、(0) ()( )(0)(0)ln(0)|2(0)2xgffffg xggxxfxxff(0)fx4求即10(1)limln(1)xxxe x (0)( )fxf xe由洛比塔法则原极限=120(1)ln(1)1lim(1)(1)2xxxxxxexx 5设 ，求2220cos( )sintuxtyeudu 22d y dx解： 42sin( ) 2tdyett2sin( ) 2dxtt 4tdyedx 44232222( )42 sin( ) 2sin( )ttd yd yt et e dxdxttt 6 ， （）20(1)(1)dx xx0解：记原积分为 I 则 201/(1)(1)dxIt
4、xxx含20(1)(1)t dt tt7.设函数满足方程，202 124dxIIx ( )f x，求的极值。 解：由条件，( )2()3sinxxe f xefxxxR( )f xx( )2()3sinxxe f xefxx有()2()3sinxxefxefxx解方程得 ( )sinxe f xx( )sinxf xex含 得可能极值点 k整数( )(cossin )xfxexx( )0fx 4knxk当时有极大值 ( )2cosxfxxe 24xk(2)42 2ke时极小值 (21)4xk(2)42 2ke 8.证明当时， (, )2x1 sinln(1 sin ) 1 sinxx xx证明
5、:令，则，要证不等式为，即要证tx(0,)2t1 sin 1 sint t ln(1 sin ) t t2 米1 米，而且0，cos 1 sintt tln(1 sin ) t 0cosln(1 sin )1 sinttdtttcos1 1 sin1 sint tt得证 0cosln(1 sin )1 sintxtdxx0coscos 1 sin1 sinttttdxtt9求 解：原极限= 201sinsin limln(1)xxx x201sinlim sin0ln(1)xxxx xx10设，求a，b的值。33lim(21)0 xxxaxb 解：当（时）333321 1(2)0xxaxbxx
6、axbQx 即21a 3a 而33 32 331 321lim1lim0(1)(1)xxxxbbxxxx 0b 11.设 ，求32( )23xf xxx( )( )nfx解：32222324676271( )2234(3)4(1)xxxxxxf xxxxxx222711( )14 (3)4(1)fxxx 322732( )4 (3)4(1)fxxxn2 ( ) 111!27( 1)! 4 (3)4(1)nn n nnnnfxx12.某水库的泄洪口为圆形，半径为 1 米，现有一半径为 2 米的闸门悬于泄洪口的正上方 （如图）问闸门下降多少米时，泄洪口被盖住一半？解：取小圆的圆心为原点、水平线为x
7、 轴，垂线为y轴。则泄洪口圆周方程为，221xy闸门（原始位置）为,下降后为两圆交点为：22(3)4xy22()4xyh23(,)2hah其中 或2224(3) 2hhah23cos =arcsin2hah盖住的面积为220214aSxxh dx13. 已知是0，1上二阶可导函数，且， ，证明：( )yf x1(0)2f(1)1f(1)1f使得。(0,1) ( )1f证明：11(0), (1)1 (0,1) ( )2fff Q( ) ( ,1) (0,1),( )1fxf Q连续使22 0022222222 2221arcsin44arcsin221arcsin44arcsin224(3)4(3)1arcsin4arcsin4(3)242aaxxxxxxahaaaaaaahhhhhhhhh
