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1、物 理 学 报Ac t a P h y s S i n Vo 1 6 3 ， No 4( 2 0 1 4 ) 0 4 0 5 0 2 基于比例积分控制的电压反馈型Bu c k 变换器分岔术 杨神巍十 刘佳林 李斌 ( 华南理工大学电子与信息学院， 广州 5 1 0 6 4 0 ) ( 2 0 1 3 年 1 O 月 1 7日 收到； 2 0 1 3 年 1 1 月5日收到修改稿) 在分段光滑模型的基础上， 推导出基于比例积分 ( P I ) 控制的电压反馈型B u c k 变换器的光滑模型及离散 迭代模型证明了功率系统的混沌吸引子在负载线上运动， 并受到 占空 比的控制， 模型的流形围绕吸引子
2、运 动并出现 1周期、 2 周期及混沌现象； 推导出电压反馈型 P I 控制系统的输出电压与 B u c k 变换器的输出电压成 线性关系， 在此基础上指 出P I 控制中的比例 因子起主导作用； 分析 了系统的倍周期分岔、 边界碰撞和混沌现 象， 并展示了变换器状态的转移过程 实验结果表明了理论建模分析和仿真的正确性 关键词： P I 控制， 电压反馈型， Bu c k 变换器， 分岔 P AC S ： 0 5 4 5 一 a DO I ： 1 0 7 4 9 8 a p s 6 3 0 4 0 5 0 2 1 引 言 开关电源 DC DC变换器是一种典型的非线性 动力系统， 开关的导通和关
3、断造成 了变换器拓扑结 构的循环变化， 进而促使其行为发生变化 DC DC 变换器循环变化中的每种 电路拓扑结构均可用线 性光滑系统描述， 因此， DC DC变换器是分段光滑 的动力系统， 具有丰 富的动力学行为， 如倍周期分 岔、 边界碰撞、 混沌等 i - s DC DC变换器存在两 种工作模式：连续导 电模式 ( CC M)和断续导电模 式 f DC M) ： 在C C M模式下， 变换器可用两段光滑 系统描述； 在 DCM模式下， 变换器可用三段光滑 系统描述当变换器参数发生变化 时， 每一光滑系 统范围内会出现分岔现象， 如H o p f 分岔等 9 不同 光滑 系统之 间切换 时会
4、导致变 换器工作模式 的变 化， 也会发生分岔现象， 如边界碰撞等 6 , 7 , 1 0 , 1 1 传 统 的线性分析方法只能近似描述变换器行为， 对于 其非线性行为较难预测和处理因此， 从动力系统 的角度研究变换器的行为， 对于变换器的设计具有 重要的意义 近年来， 国内外研究人员对分段光滑 电路， 尤 其是 DC DC变换器基础结构 f B u c k ， B o o s t ， B u c k _ Bo o s t ) 进行 了深入的研 究 6 - 1 8 带有补偿 的电流 反馈型 B u c k B o o s t 变换器在 DCM模式 下具有 明 显的阵发现象和较弱的混沌现象 1
5、 0 ； 并发现带有 补 偿 的峰值 电流模式 和谷值 电流模 式的 DC DC 变 换器具 有对称 动态特 性 1 1 电流 反馈二 次型 B o o s t 变换器 在不 同的参数 变化 时有着 不同的分 岔路 由， 存在工作模式转移现象 1 2 电流反馈型 B u c k Bo o s t 变换器在输入 电压和负载 电阻等 电路 参数 宽范围变化时存在周期分岔、 边界碰撞分岔、 鲁 棒混沌和 阵发 混沌等 复杂动 力学行 为 1 3 电 流 反馈 型变换 器 由于 电流 的近似 线性而 容 易分 析， 研究较为深入 9 - 1 3 ； 电压反馈型变换器 由于 电 压波形较 为复杂，较 电
6、流反馈型变换器研 究难 度 大 1 4 - 1 8 】 双 电压控制下 的B u c k变换器在参数 变 化时会发 生CC M 和 DC M 的模式转换， 具有倍 周 期分岔和边界碰撞分岔行为 1 5 电压反馈型DC M 模式下 的B o o s t 变换器在 反馈 系数处于一定 范围 中央高校基本科研业务费 ( 批准号： 2 0 1 3 Z M0 0 1 5 ) 资助的课题 十通讯作者E ma i l ： y a n g y i we i s c u t e d u c a 2 0 1 4中国物理学会 Chi n e s e Ph y s i c a l S o c i e t y 0 4
7、0 5 0 2 1 h t t p ： w u l i x b 咖h y a c c 礼 物 理 学 报Ac t a Ph y s S i n V o 1 6 3 ， No 4( 2 0 1 4 ) 0 4 0 5 0 2 时， 会发生切分岔和阵发混沌现象 1 6 以上研究均 在 比例 ( P ) 控制下展开， 而实际工程中常用 比例积 分 ( P I ) 控制作为 DC DC变换器 的补偿环路，由于 P I 控制比P控制多出一个状态量， 使得系统多出一 个维度， 因而系统更为复杂此外， 基于 P I 控制 的 电压反馈型 DC DC变换器 目前研究较少， 尤其是 P I 因子对其行为的影响需
8、要进一步研究 本文 以基于 P I 控制 的 电压反馈型 B u c k变换 器为例进行研究， 建立该变换器的分段光滑模型和 离散迭代模型， 通过分析各段光滑模型的不动点， 推导出系统的混沌吸引子， 明确系统的动力学行为 特 点； 研究 P I 控制 的比例因子和积分因子对系统 分岔行为的影 响， 并分析 了系统的倍周期分岔、 边 界碰撞分岔和混沌现象 实验结果证明了理论分析 与仿真的正确性 2 变换器建模 典型的基于 P I 控制 的电压反馈型 B u c k变换 器拓扑结构如 图 1 所示其中， 是输入 电压， 是输 出电压， L 是 电感 电流， 。 f 是参考 电压， i 是三角波；
9、R1 ， C1和运算放大器 A1 组成了P I 控制 器， 其 中R1 与R ， Rd决定 了P I 控制器 中的比例 系数， 1 与R ， Rd 共 同决定了积分系数； A 2是 占 空 比生成器，占空 比由P I 控制器的输出与三角波 比较决定当开关管 S 导通时， 二极管 D关断， 电源 给负载提供能量，电感 电流变大； 当开关管 S 关 断时，电感 电流减小， 此时有两种情况：若在 电感 电流减小为零之前， 开关管 S 再次导通， 则称变换 器处于连续电流模式 f C C M) ； 当电感电流减小为 零 时，由于二极管D的反 向截止作用，电感 电流将 一直保持为零， 若在此时开关管 S
10、再次导通， 则称 变换器处于断续 电流模式 f DC M) L 图 1 基于 PI 控制的 电压反馈型 Bu c k变换器 示意 图 当开关管 S 导通时， 有 当开关管 S 关断时， 有 = V o ， 1 厂 ( 1 ) y0 。 L一百 f 一 ， c =i L V o ( 2 ) l L 0 ， 其 中， 当变换器进入 DC M 工作模式时， i L是零， 故 可加入限制条件i L0 因此， ( 2 ) 式中包含了C C M和D C M两种情况( 1 ) 式和( 2 ) 式对应的齐次 线性方程 的系数矩阵一致， 其特征根及特征 向量分 ，z = 一 士 ， ， = c ， 其中， 1
11、、 4 R c 一1 2 R C， Bu c k 变换器在这两组光滑动力系统约束下工 作， 因而属于分段光滑系统 采用离散迭代法， 对每 个周期T的起始时刻进行采样， 令i L ， =i L ( n T ) ， Yo， =Y o ( n ) ， C C M 模式下系统在DT时间内受 ( 1 ) 式控制， 在 ( 1 一D) T时间内受 ( 2 ) 式控制， 令 i L ， =i L ( n T + DT ) ， Y o ， =V o ( n +DT ) 为D T时 刻变换器的中间状态 对于系统 ( 1 ) ， 有 其中， ) z+ ， GI： V o， 一 ， G 2 =i L ， 一 R一(
12、 V o ， 一 ) ( ) ， =ea。Tc。sc 。 一s i n ( w DT ) 藏 ，、【 物 理 学 报Ac t a P h y s S i n Vo 1 6 3 ， No 4( 2 0 1 4 ) 0 4 0 5 0 2 一一 s i n ( w DT ) +c o 删 对于系统 ( 2 ) ， C C M状态下有 ) =G3 + G4 X4 ， 其中， G3= G 4 =i L ， 一 ， c ( ) ， =e一。 。一。) C。sc c 一 。 ， =e一 1 一D) Ts洫 c 一 。 T +c o s c 一。 DC M 状态时， 在 C CM基础上， 增加下式 L V
13、o ,叫 + l j) 0他 c j 其 中， t 3 表示 电流 i L为零的持续时间 CCM 2 i + 1 J ， i ) j DC M ： ：I l 【- J = s( 。 ( ( ) ) ) 根据 ( 3 ) 一( 5 ) 式可 以得到离散迭代模型， 如 ( 6 ) 式所示， 其中 1 ( )的输出是 2 ( ) 的输入， 在 D C M模式下， 2 ( ) 的输出是 3 ( ) 的输入 根据离 散迭代模型表达式可知， 变换器状态量存在固有的 谐振频率 u ， 开关周期 及 占空比D的变化同样会 影响状态量的频率 考虑到P I 控制器 中引入积分电容 ， 因此， 系 统状态量除了电感
14、 电流 i ， 输出电压 之外， 还多 出了电容 C1 的电压 1 根据电路结构，电压 1 的变化通过 。 转化为占空 比D的变化， 可得 。 ：Rl+ r e f + V c1+ ， d D 1 d 。 1 V r。 f R 1 K l 一 +( 丽R 1 一 击 ) ， (8 ) 其 中， 。 是 P I 控 制器 的输 出， 是 三角 波 i 的峰值电压， r=R R d ， K =Rd ( R 4 - R d ) ， D = 。 由于开关 的导通和关断导致 了变换器拓扑结 构 的变化， 描述 电路行 为的动力系统是分段光滑 的， 进而会 具有边界碰撞等 复杂 的动态特 性本 文通过使用
15、 s i g mo i d函数， 将该两个分段光滑 的系 统近似成 为单 一的光滑 系统， 用统一 的方程组描 述s i g mo i d函数表达式如 ( 9 )式所示， 不同参数 J E 对应 的图形如 图2所示； 当参数 B趋 向于无穷时， s i g mo i d函数趋 向于阶跃函数 ( 5 ) s i g mo i d：1 ( 1 +e x p ( B( t T t h h 。 ld ) ) ) ( 9 ) 图 2 s i g mo i d函数示意 图 将系统的状态量设为X =i L ， Y o ， D， 丁 ， 其动 7 1 J 1 J 物 理 学 报Ac t a Ph y s S i n V o 1 6 3 ， No 4( 2 0 1 4 ) 0 4 0 5 0 2 f d iL = 1 ( I 、 l V o)( i L 0 ) ， l
