《量子力学中科大课件一些自旋算符及它们组成的hamiltonian讨论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学中科大课件一些自旋算符及它们组成的hamiltonian讨论（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1一些自旋算符及它们组成的一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian讨论讨论问题问题 I，单个单个 自旋向任一方向自旋向任一方向的投影算符的投影算符。1 2rrerre 1) 算符算符为书上已研究过的（为书上已研究过的（p.204-205） 。它满足。它满足，re 2 reI 所以其本征值为所以其本征值为，其本征函数，其本征函数1 cosexp2sinexp222; sinexp2cosexp222rrii ee ii 所以可将它写为它本身的谱表示：所以可将它写为它本身的谱表示： rrrrreeeee 2) 计算对易子计算对易子。下面略去脚标。下面略去脚标。,1,2iriei1,2i 先计
2、算先计算：,rxe ,222rxxxyyzzxzyyzrxennnininie 于是有于是有,2rreie 3) 再往算再往算,rel 先算轨道角动量的先算轨道角动量的 分量的对易子：分量的对易子：zl,rzxyzyxrzxyze lixyierrr 于是有于是有,rrelie 4) 再往算再往算, rreJelS总之有总之有2,02rreJel 于是于是，这种，这种算符将保持此费米子的总角动量不变。算符将保持此费米子的总角动量不变。re 5) 再往算再往算。2,re 显然，由于单个显然，由于单个自旋的自旋的，有，有1 2232,0re 6) 再往算再往算2,rel 2,rrrrrrrrrel
3、elllelieli leielleielle 为计算为计算，先算它的，先算它的 分量：分量：rlex22 3333112ryzxzyxxxzyxyzzyzylellizxxyrrrrxzzyxyizxxzzxxxyyxyrrrrrrrrxzyillrrr 于是有于是有2rrrlei eel最后得最后得 222,222rrrrrrrrrelieli ereeereere 7) 再往算再往算,rel s 222211,22rrrel seJlsel 即有即有321,2rrrrel selieli e 问题问题 II，两个两个 自旋算符自旋算符的研究。的研究。1 2 1212123rrSee它们之
4、间相互作用的形式，除纯粹含它们之间相互作用的形式，除纯粹含的部分以外，其中主要组的部分以外，其中主要组, r p 成部分是如下形式成部分是如下形式 1212123rrSee现在来分析这种算符的各种性质。现在来分析这种算符的各种性质。1) 这种形式下的这种形式下的对全空间方位角的等权积分为零。对全空间方位角的等权积分为零。12S12 40S d 因为因为，所以有，所以有 123sincos ,sinsin , cos,ren n n3121,2, ,13iji jij i jSnn 223121,2, 1000031,2, 1sinsin343403ijiji j ijiji ji j ijdd
5、Sddnn 因此，因此，只对相对运动为非球对称的空间概率分布起作用，它在只对相对运动为非球对称的空间概率分布起作用，它在态态12Ss中平均值为零，不起作用。中平均值为零，不起作用。2) 它的本征值为：它的本征值为：124, 0, 2, 2S 解解 1： 由由1第第 222 页，利用自旋投影算符和自旋交换算符页，利用自旋投影算符和自旋交换算符来表示这来表示这12P个个，即知它的平方满足下面二次方程式，即知它的平方满足下面二次方程式12S2 121212122 21410SPSP于是利用于是利用，将，将本征值代入，即得下面两个方程本征值代入，即得下面两个方程2 121211PP 12P42 121
6、21212 2 121212121:280,4, 21:60,0, 6PSSSPSSS 然而，现在然而，现在有一个重根有一个重根，重数为，重数为 2。这会导致出现一个虚假的。这会导致出现一个虚假的12S122S根。究其原因是由于，根。究其原因是由于，在在有重根的情况下，有重根的情况下， “取任一本征值取任一本征值”126S12S12S和和“取任一本征值取任一本征值”这两件事之间有时会有关联，并非两者的任意这两件事之间有时会有关联，并非两者的任意12P两种取值都是彼此独立的。两种取值都是彼此独立的。实际上本征值为实际上本征值为124, 0; 2; 2S 本来，此直积矩阵的维数是本来，此直积矩阵的
7、维数是，有四个根是对的。由于，有四个根是对的。由于，2 24120trS4 个根的总和应为零。个根的总和应为零。解解 2：鉴于鉴于第一项形式（第二项可化为自旋交换算符第一项形式（第二项可化为自旋交换算符，它易于运，它易于运12S12P算）算） ，取如下，取如下 4 个正交归一基矢个正交归一基矢 1212121212121001,;,00000000,;,1001rrrrrrrreeeeeeee 于是，将于是，将作用到它们上面，得作用到它们上面，得12121231 2rrSeeP 12121212,3,2,2, ,3,2,2,2, ,3,2,2,2, ,3,2,2,S S S S 转入矩阵表示，
8、即得转入矩阵表示，即得所相应的矩阵为所相应的矩阵为12S5122000 0220 0220 0002S 容易得到，它的容易得到，它的 4 个根为个根为。4, 0, 2, 2解解 3：可以直接看出：可以直接看出：的的 4 个本征矢量为个本征矢量为12S 121212121,2;,1,21,2riiei 它们分别对应的本征方程为它们分别对应的本征方程为 1212122;4;00;SSS 3) 接着往算接着往算：1212,rree 12121211221121221212,22rrrrrrrrrrrrrreeeeeeeeeeieeiee 12121212,2rrrrrreeieeee（用乘以任意矢量
9、（用乘以任意矢量 办法，易知大括号内的量确实不等于零：办法，易知大括号内的量确实不等于零： n） 12121212121212120rrrrrrrrrrrrrrreeeeneneeeneneeenenee 4) 再往算再往算12121212,3,rrSee注意注意，故，故。因此直接有。因此直接有121221P1212,0 1212121212,3,6rrrrrrSeeieeee 这是说，这是说，算符不保持两个费米子的总自旋矢量不变。算符不保持两个费米子的总自旋矢量不变。12S另外，也有另外，也有6 1212121212121212,3,3,3,3rrrrrrrrrrrrSleeleeleeleleieeee 算符也不保持两个费米子相对运动的轨道角动量矢量不变。算符也不保持两个费米子相对运动的轨道角动量矢量不变。12S5) 由上面两点可知，由上面两点可知，1212,02SJSl 但是，但是，算符保持这两个费米子的总角动量矢量不变。算符保持这两个费米子的总角动量矢量不变。12S6) 计算对易子计算对易子。2 12,SS22222 12121211121221112122111221112,3,443, 3324 3,2 3,
