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1、2 0 1 4年 1 1月 NO V ，2 01 4 计 算 数 学 MA THEMATI CA NUM ERI CA S I NI CA 第 3 6卷第 4期 Vo 1 3 6 ，No 4 非饱和土壤水流问题的 CN 有限元格式 ) 罗振东 ( 华北电力大学数理学院， 北京 1 0 2 2 0 6 ) 摘 要 首先给出二维非饱和土壤水流问题基于 C r a n k N i c o l s o n ( C N ) 方法的具有时间二阶精度的半 离散化格式， 然后直接从 C N时间半离散化格式出发， 建立具有时间二阶精度的全离散化 CN有 限元格式， 并给出误差估计， 最后用数值例子说明全离散化
2、CN有限元格式的优越性 这种方法可 以绕开关于空间变量的半离散化格式的讨论， 提高时间离散的精度， 极大地减少时间方向的迭代 步， 从而减少实际计算中截断误差的积累， 提高计算精度和计算效率 关键词：非饱和土壤水流问题； Cr a n k Ni c o l s o n方法； 全离散化 CN有限元格式 MR ( 2 0 0 0 )主题分类：6 5 N1 2 ， 6 5 M1 5 ， 6 5 N3 0 1 引 言 非饱和 的土壤水流是实际土壤水流动 问题中的常见现象， 是土壤中流体运动的一种主要 形式 对非饱和土壤水流做预报研究， 是大气科学、土壤学、农业工程 、 环境工程和地下水动 力学等方面重
3、要研究对象土壤水分含量直接影响着气候的变化， 其季节性变化对中高纬度 地区天气和气候会产生直接的影响， 因此对非饱和的土壤水流问题的研究， 具有极其重要的实 际意义 二维非饱和土壤水流问题的数学模型是根据 Da r c y定律及水动力学原理建立起来的一个 非线性偏微分方程 由于这个非线性方程通常包含有繁杂 的源项以及依赖于土壤类型和水分 含量的水动力扩散系数 i - 4 因此， 是无法求出它的解析解 的， 人们只能去求其数值解 _ 5 - 9 】 虽然文献 6 - 9 给出了非饱和土壤水流问题的一些有 限元格式或有限体积元格式， 但这些 格式对时间只有一阶精度， 而且文献 6 只讨论一维 隋况
4、的集中质量有限元法这样， 为了得 到足够高的时间精度， 时间步长必须取做够小， 从而计算 时间步数就很多， 增加计算截断误差 的积累， 影响计算精确度 而且上述这些方法都是先对空间变量做半离散化， 然后从空间变量 半离散化出发做全离散化， 理论分析 比较繁琐因此， 本文改进现有的方法， 首先给出二维非 饱和土壤水流问题基于 C r a n k N i c o l s o n ( C N) 方法的具有时间二阶精度的半离散化格式， 然后 直接从 C N时间半离散化格式出发， 建立全离散化 C N有限元格式， 并给出误差估计， 最后给 出数值例子说明全离散化 C N有限元格式的优越性 这种方法可以绕
5、开关于空间变量的半离 散化格式的讨论， 提高时间离散的精度， 极大地减少时间方向的迭代步， 从而减少实际计算中 截断误差的积累， 提高计算精度和计算效率 本文的安排如下： 第 2节给 出二维非饱和土壤水流问题基于 C N方法的具有时间二阶精 度 的半离散化格式； 第 3节直接从 C N 时间半离散化格式出发， 建立时间二阶精度 的全离散 2 0 1 3年 7 月 1 2日收到 ) 资助项目：国家 自然科学基金 ( 批准号： 1 1 2 7 1 1 2 7 )和贵州省教育厅 自然科学研究项 目 ( 黔教合 K Y字 2 0 1 3 1 2 0 7 ) 3 5 6 计 算 数 学 化 C N有限元
6、格式， 并给出误差估计； 第 4节给 出数值例子说明全离散化 C N有 限元格式的 优越性； 第 5节给 出主要的结论 2 非饱和土壤水流问题基于 CN 方法的具有时间二阶精度的半离散化格式 2 1 非饱和土壤水流问题的数学模型及变分问题 当渠道或管道周围的土壤是均匀和各向同性的多孔介质， 而且土壤中的水分是从渠道或 地下管道渗入土壤时， 土壤水流问题可归结为垂直于土壤剖面的二维非饱和土壤水流 问题 ( 如 图 1 ) ， 其水平方 向指向右边为 轴正向， 而垂直 向下为 Y轴正 向 图 1地下管道渗漏的土壤剖面 根据水动力学原理和 Da r c y定律， 二维非饱和土壤水流 问题的数学模型可
7、用下面 的非线 性方程描述 ( 参见 1 4 ) ： OQ 0 ( D (Q )瓦O Q ) + 0 ( D (Q ) ) 一 O K (Q ) + ， ( ， Q (。 ， 】，(2 1 ) 其中 【 2 C 是有界连通多角形区域， 是时间上限， Q( x ， Y ， t ) 是土壤水分含量， 是植物根 系吸收率即已知的源项， K( Q) 和 D( Q) 分别表示渗透系数和水力扩散系数， 并定义为： =瓦 ( ； 卜警 ( ) ， 2， 这里 Q( x ， Y ， t ) ， Q ， 而且 Q ( 00 ) 分别是饱和土壤水分含量 和残留土壤含水量， ( 0 ) 是饱和导水率， 是饱和水势，
8、 b是与土质有关参数显然， ( Q ) ， 百O K( Q )， ，。 ( Q ) ， 及百O D ( Q ) 都是有界量 ，即存在两个常数 和 使得 ( Q) ， O K ( Q)， O K ( Q)，。( Q ) ， O D ( Q ) ( 2 3 ) 方程 ( 2 1 ) 的初边值条件取为： Q ( x ， Y ， 0 ) =Q 。 x ， ) ， ( ， ) Q ， Q( O ， 0 ， t ) =Q ，t 【0 ， ， ( 2 4 ) Q( x ， ， t ) =Q 。 ，( X ， Y ) o a ( o ， 0 ) ， t 0 ， T ， 4期 罗振东： 非饱和土壤水流问题的 C
9、N有限元格式 3 5 7 其 中 Q。是土壤 中已知初始水分 为了方便起见而且不失一般性， 在下面的理论分析中， 不妨 假定 Q。=0 本文用到的 S o b o l e v空间都是标准的 ( 参见 1 0 ) 设 U=H o1 ( Q ) 由于在 【 2 上几乎处处 有 Q=0 ， 所以问题 ( 2 1 ) 及 ( 2 4 ) 的变分形式可表示为下面所述 问题 I 求 Q ( t ) ： 0 ， T 】 满足 Q ；Q F (0 ， 1 (2 5 ) 【 Q (x ， Y ， 0 ) =0 ，( X ， Y ) Q ， 、 其中 Q t =O Q O t ， 0 ( Q ； ， ) =( D
10、( Q ) V u ， V v ) ， F ( Q ； u ) =( O R( Q ) O y ， ) ， 而且 ( ， ) 表示 ( Q ) 中的内积 若 S r L 。 ( 0 ， ； L ( Q ) ) ， 而且 D( Q ) 和 K( Q ) 的Q取成后一步， 其他的 Q取 为前一步， 用 1 1 中处理非线性方程的方法， 并由L a x - Mil g r a m定理 1 1 不难证明问题 I 存在 唯一的解 Q明 ( Q ) nH ( Q ) 2 2 非饱和土壤水流问题基于 CN 方法的具有时间二阶精度的半离散化格式 对于正整数 ， 设 k= 为时间步长， Q 是 Q( t ) 在
11、 t =n k( n=0 ， 1 ， ， ) 点处关 于时间的 C N半离散化逼近 若问题 I 中的 Q在 t =t 处微商 Qt 用 向后一步的差商 Q =( Q 一Qn - 1 ) k逼近， 那么问题 I 关于时间的 C N半离散化格式为如下形式 问题 I I 求 Q叶 U( n=0 ， 1 ， ， N 一1 ) 满足 2 + 一Q n V ) + 。 ( Q ” + ； Q + +Q ， ) =2 后 F ( Q + ； “ ) ，V u f 2 6 ) 【Q =0 ，( ， Y ) Q， 其中 F( Q卅 j1 ； ) =( a ( Qn + ) o y ， ) ， 而且 + = (
12、) 当 Qn + 和 Q n及 + 被给定时，通过利用条件 ( 2 3 ) ， 不难证明问题 I I 存在唯一 的解 而且利用 T a y l o r 展开不难得到下面的误差估计： Q ) l l 0Mk ， 仃=1 ， 2 ， N， ( 2 7 ) 其中上式和后面用到的 M 均表示与时间步长 和空间步长无关的常数， 但与问题 I中的其 他 已知量有关， 而且不同的地方出现可以不相等 3 非饱和土壤水流问题时间二阶精度的全离散化 C N 有限元格式及误差分析 设 g = ) 是 Q具有最大直径 h=m a x h K： K ) 的拟一致三角形剖分， 其中h g 是三角形 K 的直径 ( 参见
13、1 1 ) 有限空间取为 = V h U n c ( 豆 ) ： V h L KP m ( ) ， V g h ) ， ( 3 1 ) 其中 ( ) 是 上次数不超过 m次的多项式空间 那么， 问题 I 具有时间二阶精度的全离 散 C N有限元格式为 3 5 8 计 算 数 学 2 0 1 4焦 问题 I I I 求 Q + U h( 礼=0 ， 1 ， ， 一1 ) 满足 Q ) + 。 ( 1 ； Q nh + l +Q ) =2 F ( ； u ) ，V ， ( 32 ) ( X ， Y ) Q 为了讨论问题 I I I 解的误差， 还需要引入下一引理 ( 参见 9 ， 1 1 ) 引理
14、 1 对于每个 WU， 定义一个广义 R i t z投影 P h： U_ ， 即 UU满足 2 ( it 钆 ， V h ) + ( 叫； P h u ， V h ) =0 ，V V hu h 则当 i t H + ( Q ) 和 =O ( h ) 时， 有 钆一P h it ll0 +k ll v ( it P h it ) llo Mh + 【lu II + 对于问题 I I I ， 有下面的主要结论 定理 2 在条件 ( 2 3 )和 ( 2 7 ) 成立的条件下， 问题 I I I 存在唯一的解 Q U h ， 而且当问 题 I I 的解 Q ”Hm + l ( Q ) 和 k=O(
15、h ) 时， 有下面的误差估计 Q 一Q I10 +k ll V( Q 一Q ) rlo M( k 。 +h m + i ) ， 扎=1 ， 2 ， ， N ( 3 3 ) 证明 如果记A ( Q ： + ； Q + ， u h ) ：2 (、 D n + l ， h ) + k t r nh + ； Q + ， ) 和 ( Q + ； v h ) ： 2 ( Q ， V h ) 一 k a ( Q 十 主 ； Q ， V h ) +2 k F ( Q h ； v h ) ， 则问题I I I 可以 被重写为 问题 I V 求n + u h( n =0 ， 1 ， ， N一1 ) 满足 “ h ) ： ( Q ： + ； ) ， ， Q ( 3 4 ) 由条件 ( 2 3 ) 和 ( 2 7 ) 成立的条件， 容易证明 A (
