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1、【主题】超强助学高数版原来积分可以如此简单一种令你难忘的思考 CQM20120102 【预览】 【简介】 故事是这样的，灵感来源于上面那个彩色的表格。陷于积分计算的混沌之中的我，将所 有学过的积分按照一定的方法分类，再将所有学过的方法用箭头标注在表格上，突然发现，好像所有知识都能串起来！于是，几经努力和修改，终于写出了这个想法。 【宣言】 【参考资料】 高等数学（下） 华南理工大学同步习题册（下） 【声明】本文仅代表个人观点，效果因人而异。如有不足，欢迎指正。 本文由 Mr.Agent 独家首发。开源，无版权。已上传至百度文库。 原来可以原来可以如果问一个我们大一的学生考试什么科目最头疼，我们
2、大部分一定会毫不犹豫地说：高数！而微积分想必是我们心中永远的痛。不过，看完下面的内容，你也许会发现其实积分可以是很简单的，甚至是有趣的！ 我经常在想，学习知识，怎样才能摆脱死记硬背，真正在需要的时候能用的上呢？慢慢觉得，其关键是在自己脑中建立一个知识的系统，就好像是一个用文件夹分类并标注名称整理得很好的硬盘，无论想用什么都显得容易很多。 现在，就让我们来阅读下面的文字，看看这个总结有没有让你感到眼前一亮呢？ 一、积分是什么 (一)我们学过的六类积分 (二)六类积分之间的联系 (三)积分的统一定义 二、积分怎么算 (一)定义法 (二)核心方法 三、积分计算的实例 (一)计算技巧 (二)思考 ()
3、 1.定积分：直线区域（坐标轴）上定义的函数的积分( )baIf x dx 2.二重积分：平面区域（坐标平面）上定义的函数的积分( , )DIf x y d 3.三重积分：空间区域上定义的函数的积分( , , )If x y z dV 4.曲线积分：平面曲线区域上定义的函数的积分( , ) LIf x y ds 5.曲线积分：空间曲线区域上定义的函数的积分( , , )If x y z ds 6.曲面积分：曲面区域上定义的函数的积分( , , )If x y z dS （注：不定积分是计算被积函数原函数的运算，这里并未包括在内，故以下只研究上述六类积分间的关系） () 1.观察这些积分的表达式
4、，我们看到，所有的积分都是由一下这四部分构成的： 积分区域：如 x 轴上的区间（a，b） ，xOy 平面上的区域 D，一条空间曲线 被积函数：一元函数 f（x） ，二元函数 f（x，y） 积分变量：dx，d 积分号： 、 、 所以，我们完全可以把所有的积分统一写成：12N( ,) dIf x xx 2.各类积分的关系 我们所学的六种积分类型，其实是按照积分区域的不同来划分的： 分布维数 线分布（一维分布） 面分布（二维分布） 体分布（三维分布） 区域 形状 线形区域 ( )baIf x dx ( , ) LIf x y ds ( , , )If x y z ds 面形区域 ( , )DIf x
5、 y d ( , , )If x y z dS 体形区域 ( , , )If x y z dV我们容易发现，变量的个数是与分布维数对应的，而积分号的个数与区域形状有关。 请记住这张表，因为它将使你的知识更加系统，使你的思路更加清晰，我们后面讨论计算方法时还要用到它。 值得注意的是： 积分的类型取决于被积函数定义域 的形状，即积分区域的形状； 积分，其实是先微分再积分，不同的积分区域，对函数的微分方式也不同，这体现在积分变量上。 例如： 是线形区域，在一维的情况下，积分区域为坐标轴上的一段区间（a，b） ， 那么，积分为定积分：( )baIf x dx； 是线形区域，在二维的情况下，积分区域为坐
6、标平面上的一条曲线 L， 那么，积分为平面曲线积分：( , ) LIf x y ds； 是线形区域，在三维的情况下，积分区域为空间坐标系下的一条曲线 ， 那么，积分为空间曲线积分：( , , )If x y z ds ； 是面形区域，在二维的情况下，积分区域为坐标平面上的一块区域 D， 那么，积分为二重积分：( , )DIf x y d； 是面形区域，在三维的情况下，积分区域为空间坐标系下的一块曲面 ， 那么，积分为曲面积分：( , , )If x y z dS； 是体形区域，在三维的情况下，积分区域为空间坐标系下的一个立体区域 ， 那么，积分为三重积分：( , , )If x y z dV；
7、 () 1.有了以上对积分的重新整理和认识，我们发现，不论积分的名字是什么，或者采用了 怎样的表示形式，其实它们从本质上都是一样的： 在一定区域 上定义了函数 U，则相应的积分为1()ii iU Q。 如果你对积分的统一定义已经十分认同， 特别是上述的积分表达形式， 那么其实你可以直接开始第二部分的阅读！但如果还有疑惑，不妨继续看看下面紧接着的内容！ 2.我们已经给出了所有积分的统一的表示形式， 但是那个形式毕竟不是来源于定义而是 来源于合情的推理，所以我们有必要对积分进行统一的定义，并且抓住积分的本质，这对于以后的计算是很有帮助的！ 为了完成这个目标，我们需要思考，积分到底是什么 回顾：让我
8、们先来看看定积分是怎么定义的： 设函数( )f x在闭区间 , a b上有界， 在 , a b中任意插入n+1个分点： 012i 11innaxxxxxxxb把区间分划成n个小区间011211,iinnxxx xxxxx， 记1(1,2, )iiixxxin， 并记 1maxii nx ， 在每个小区间1,iixx上任取一点i，作和式 1( )nii ifx如果不论对区间 , a b怎样划分，也不论对小区间1,iixx上的点i怎样的取法，极限 01lim( )nii ifx 的值都为一个常数，则称函数( )f x在区间 , a b上可积，并称极限值为函数( )f x在区间 , a b上的定积分
9、，记为( )baf x dx，即 01( )lim( )nbiiaif x dxfx ， 其中( )f x叫做被积函数，( )f x dx叫做被积表达式，x叫做积分变量， , a b叫做积分区间。 我们不难发现，积分其实就是一个极限值。 怎样的一个极限值呢？一个和式的极限值。 怎样的一个和式呢？是这样一个和式： 它有 n 各项， 每个项都是由一个小区域和一个这个区域上定义的函数在这个区域上某点的函数值的乘积构成的。 而这小个区域和这个函数是从哪里来的呢？这个小区域就是我们需要处理的函数的定 义域，而这个函数则是我们需要处理的函数在定义在小区域上的部分。 现在我们突然发现， 我们已经将积分的统一
10、定义用语言描述出来了， 但是我们需要的是一个数学的定义。 剩下的工作其实就很简单了。 3.积分的统一定义和表示 设 为一个有界的 N 维闭区域，它是可以度量的。 上任意一点 Qi（x1，x2，xN）按照一定的映射 f 都有一个唯一的值 U(Qi)与之对应，则在 上定义了一个 N 元函数，记为 12N( ,)Uf x xx，或()iUf Q。 设函数 U=f（Qi）在 上是有界的，将 任意划分为 m 个小部分1，2，m，在i上任取一点 Qi，作乘积iif Q 并求和 i 1mi if Q设iR为i的直径， 1max()ii mR ，且极限 01lim()mii if Q 存在，那么定义该极限值为
11、函数()iUf Q在 上的积分，记为 01( )dlim()nii if Qf Q 。这就是积分的统一定义。 () 我们知道积分是一个和式的极限， 所以我们可以用极限的求法来计算积分的值。 但是毫无疑问，这种方法是我们不愿意经常使用的，那么怎么办呢？ () 1.首先来聊一个比较无聊的题外话：假如你要从广州去到深圳，你会选择怎么走？ 想象一下在古代，人们都是步行或者是骑马，但是这样的确很慢，后来我们有了火车就快多。 再想象一下， 如果你给铁道部建议实现家家通火车， 你觉得怎么样？当然你一定觉得这是一个不错的想法，但是事实上目前还不太可能实现，即使实现也不太可能会是火车。 好了，其实我想说，定义法
12、就好像是我们步行去深圳，虽然能走，但是非常艰难，更何况如果是让你每天走个十次八次的！那么我们同样需要一列火车来代步。 现在让我们来考虑整个旅途： 首先不论是谁只要是想去深圳的人， 先从四面八方汇聚到 广州火车站， 然后坐上一列专门驶往深圳的列车， 这列火车是从一个固定的地点发车的而不是从每个人的家门口发出的，然后到达一个统一的目的地深圳。 因此，我们计算所有积分，一般都遵循这样的思路：首先将积分就行一定的转化，转化成我们熟悉的会计算的形式，然后再用同一个固定的方式，将其算出来。 2.核心方法：转化公式法 这个转化的过程是比较复杂的， 我们会在之后详细说明， 但是这最后坐火车的步骤是非常简单的，
13、 我们只需要知道一个公式就好， 这个公式就是我们熟悉的： 牛顿莱布尼茨公式： ( )( )( )baf x dxF bF a( )( ) )Fxfx 我们只要将所有需要计算的积分转化成可以用这个公式解决的形式就问题不大了， 而这 个公式所包含的知识内容则是不定积分和定积分的内容，我们在这里就不再叙述了。 众所周知，转化这步可不是说说这么简单的，比如说这个积分： 222232200()8 ( , )|4)Dxy ddr drDx yxy其中 为 我们看到其实如何转化才是我们计算积分的关键！ 那么既然如此，我们就有必要好好研究一下究竟该怎样转化。 3.核心方法：转化的艰辛 (1)首先，让我们先来对
14、比一下理想和现实的差距。 理想：22300dr dr现实：22()Dxyd我们通过对比发现，差别主要表现为： 目标中的积分变量是只含一个变量的，如 dx，而现实是积分变量为 dxdy，ds，dS，dV 等等； 积分区域目标中是一个一维的区间，如（a，b） ，而现实是我们所处理的积分区域要 么是一个曲线区域，要么是一个曲面区域，或者是一个空间区域； 被积函数原来是关于 x，y 的函数，现在是关于,r的函数。 不要紧，找到差距就好办，下面我们就来逐一消除这三个差距。 (2)差距消灭一：积分变量的转化 对于几种积分变量，一般有如下的关系： 22dsdxdy（1） 222dsdxdydz（2） 222
15、222dSdx dydy dzdz dx（3） 在计算第一型曲线积分或曲面积分： ( , ) LIf x y ds( , , )If x y z ds ( , , )If x y z dS时，以下公式可以用来发挥作用。这是我们对(1)(2)(3)式根号里的表达式进行变换得到 的： 2222ds11xydxdyy dxxdy（1） 22222ds1xxdxdydzyz dx（2） 22222222dS1xydx dydy dzdz dxzz dxdy（3） 这样积分变量只会是 dx 或 dy 或 dxdy，也就是说将曲线积分化成了定积分或二重积分 来计算，当然，如下列的参数方程法也是可以的，但是本质上与上述方法别无二致： 222 222dsdxdydzdxdydzdtdtdtdt （2） 也就是说，我们这里强调的是怎样变换积分变量使计算可行。 在计算第二型曲线积分或曲面积分： ( , )(
