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1、20133.3 等比数列及其求和一、典型例题：1.(1) 若成等比数列，则的值为_ . ,22,33xxxx4(2) 在 2 与 6 之间插入 n 个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为_ . 13n2. 如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（ B ） （A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在3. 设等比数列的前 n 项和为，前 n 项的倒数之和为，则的值为（ A ）. nanSnTnn TS（A） （B） （C）（D）1na anaa11()nna a1()nna a4. 在等比数列中，（ C ）.na20 711414 106,5,aaaa
2、aa则ABC或D或32 23 23 32 32 235. 等比数列的首项，前 n 项和为 Sn，若,_ . na11a 3231510SSnS 21(1 () )32n 6. 已知数列是公比的等比数列，给出下列六个数列：（1）； (2) na1q (0)nkak ；21na(3) ；(4) ；(5) ；(6) . 其中仍是等比数列的个数为（ B ）1nnaa1nnaanna 3 na（A）4 （B）5 （C）6 （D）37. 若六个数成等比数列，则= . 2, , , , ,18 3a b c d22229logab cd 18. 设是公比为 q 的等比数列，Sn是它的前 n 项和，若Sn是等
3、差数列，则 q= _. 1 na9. 在正项数列中，则_ . na222 1241 3nnaaa12naaa21n10. 已知数列的通项公式为，求数列的前 n 项和为 . na3221nn nan nanS1 1237222n n nSn 11. 已知定义在 R 上的函数和数列满足：0)(xf na，1213,5,()(2,3,4,)nnaaaf an且11()()2()(2,3,4,)nnnnf af aaan（1）令，证明数列是等比数列； （2）求数列的通项公式 .)(1 Nnaabnnnnbna解（1）04)(2)()(, 021212232121aaafafaabaab得由此推知：2
4、分)( , 01Nnaabnnn当4 分2)(2)()(,21111111nnnnnnnnnnnnnn aaaa aaafaf aaaa bbn时是一个首项为 2 公比为 2 的等比数列6 分nb（2）由（1）知：7 分)(22)(21 121 1Nnaabbnnn n当时，9 分2nNn，且2221)21 (21121nnnbbb而112312121)()()(nnnnnaaaaaaaabbb11 分2221)21 (211211nnnnbbbaa21n na 对 n=1 时也成立，12 分13a 21n na 12. 设数列的首项 a1=1，前 n 项和 Sn满足关系式：，其中 na13(
5、23)3 (2)nntStSt n为0t 已知常数. （1）求证：数列an是等比数列；（2）设的公比为，作数列，使，求的通项 bn na( )f t nb11b 11()(2)n nbfnb nb；（3）求和：b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1.12. 解：（1）由 a1=S1=1，S2=1+a2，得 a2= 又 3tSn（2t+3）Sn1=3ttt aa tt 323,323123tSn1（2t+3）Sn2=3t 得 3tan（2t+3）an1=0 ， tt aann 3321所以an是一个首项为 1，公比为的等比数列.tt 332 （2）由 f（t）=，得
6、bn=f+bn1. bn=1+（n1）=ttt1 32 332 32)1(1nb32 312 n（3）由 bn=，可知b2n1和b2n是首项分别为 1 和，公差均为的等差数列于是312 n 35 34b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1 =b2（b1b3）+b4（b3b5）+b6（b5b7）+b2n（b2n1+b2n+1）=（b2+b4+b2n）=（2n2+3n）34)314 35(21 34nn94二、练习题：1. 已知正项数列为等比数列，且，则_ . 5 na243546225a aa aa a35aa2. 等差数列的公差，且成等比数列，则= . na0d 1
7、517,a a a18621751 aaaaaa 26 293. 设等比数列的前 n 项和为 Sn，若 S3S62S9，则数列的公比_. naq 34 23.解：若 q=1，则有 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1. 因 a10，得 S3+S62S9，显然 q=1 与题设矛盾，故 q1.由 S3+S6=2S9，得，整理得 q3（2q6q31）=0，由 q0，得qqa qqa qqa 1)1 (2 1)1 ( 1)1 (9 16 13 12q6q31=0，从而（2q31） （q31）=0，因 q31，故 q3=，所以 q=.21 2434. 等比数列的前项的乘积记为，若，则_ . nnM1
8、02020,10MM30M1 85. 设 An为数列的前 n 项和，An=（an1），且. na23(1)n 43nbn(1)n （）求数列an的通项公式； （）若 da1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn， ，则称 d 为数列an与 bn的公共项，将数列an bn的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列dn ，求证：数列的通项公式为： . nd213n nd5.解：（）由已知 An=（an1） （nN） ，当 n=1 时，a1=（a11） ， 解得 a1=3，23 23当 n2 时，an=AnAn1=（anan1） ，由此解得 an=3an1，即=3（n2）. 故 an=
9、3n（nN*） ；231nn aa（）证明：由计算可知 a1，a2不是数列bn中的项， 因为 a3=27=463，所以 d1=27 是数列bn中的第 6项设 ak=3k是数列bn中的第 n 项，则 3k=4m+3（k，mN） ，因为 ak+1=3k+1=33k=3（4m+3）=4（3m+2）+1， 所以 ak+1不是数列bn中的项.而 ak+2=3k+2=93k=9（4m+3）=4（9m+6）+3， 所以 ak+2是数列bn中的项由以上讨论可知 d1=a3，d2=a5，d3=a7，dn=a2n+1 所以数列dn的通项公式是 dn=a2n+1=32n+1（nN*）练习题答案： 1. 5 2. 3. 4. 5. 26 2934 21 83nna
