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1、竞赛模拟试题 33一、选择题（本题满分 36 分，共 6 小题）1为互不相等的正数，且, , ,a b c d1,ab ,xacbd，则下列关系式中，成立的是( ).,ya cb d zacbd( )Axyz( )Bzxy( )Cyzx()Dzyx2若，则（ ）5432007( )(22535754)f xxxxx111 1()2f1 1 2005 2007( )A( )B( )C()D3方程组的实数解共有（ ）组.247247(1)(1)(1)1(1)(1)(1)1xxxyyyyx ( , )x y4 3 2 1( )A( )B( )C()D4集合，|()()2 , , ,0AzCabi z
2、abi zc a b cRabc且，若，则以为三边（ ）|1BzCzAB ,a b c构成锐角三角形 构成直角三角形( )A( )B构成钝角三角形 不能构成三角形( )C()D5给定双曲线，点为双曲线的左右实轴顶点，点22221(0,0)xyabab12,A A，为双曲线的左右焦点，点 P 为双曲线上一动点，线段分别交双1F2F12,PA PA曲线的右准线 于点，那么的值（ ）l,M N12FM F N 有最大值而无最小值 有最小值而无最大值( )A( )B既有最小值又有最大值，且最大值与最小值不等 ( )C是一个与点 P 位置无关的常量()D6若是互质的正整数，且满足，则中有理, ,x y
3、z111 xyz,xyxzyz数的个数为（ ）0 1 2 3( )A( )B( )C()D二、填空题（本题满分 54 分，共 6 小题） 7若以椭圆的四个顶点为顶点的菱形的内切圆过椭圆的焦点，则椭圆的离心率 为 .8将这九个数随机填入棋盘的九个格子中， （每格填写一数）则使1,2,93 3每行、每列填数和皆为奇数的的概率为 .9已知两点，若有一整点使得的面积最小，则的(0,1), (6,9)ABCABCABC面积的最小值为 .10函数是定义域为的增函数，且对任意，都有( )f x0,(0,)x，则 .1( )f xx 1( ( )1f f xx(2)f11直三棱柱中，平面平面，且，则111AB
4、CABC1ABC 11ABB A13ACAAAC 与平面所成角的取值范围是 .1ABC12已知集合， A 中的所有二元子集之和组成集合12345 ,Ax x x x xB=，则集合 A= .3,4,5,6,7,8,9,10,11,13三、解答题（每题 20 分，共 60 分）13已知，且满足：, ,a b cR2( )sinsinf xaxbxc；.()3816fmax( )444f xmin( )364f x求的解析式.( )f x14已知点分别为椭圆的左顶点和右顶点，点分别为椭圆,A B22221xy ab12,F F的两焦点，过椭圆上异于的一点引椭圆的切线，交圆于点,A BP222xya
5、（M 位于 N 的左侧） ，直线的交点为，求证：与轴垂直.,M N,AM BNQPQx15. 已知正数数列满足，且 na2 1211132nnnnnnnnna aa aa aaa a，求的通项公式.121,3aa na加试一、 （本题满分 50 分）的内心为，是形内的一点，过作ABCIPP, , , PDBC PEAC PFAB，为垂足，若，D,E F2PDPE PFABAC证明：四点共圆, , ,B I P C二、 （本题满分 50 分）设，求证： (1);nN3lg(1)lg10nnn(2)3111lg( !)()10 23nnn三、 （本题满分 50 分）下面是一张具有个空格的表，如果能
6、将前个正整数适当分成两2n2n1,2,2n组：和，分别填于上下两行的空格中：12 ,nAa aa12 ,nBb bb使得，就称 A，B 是111ab222ab333abnnnab的一个“友好划分”.1,2,2n（1）证明：这种“友好划分”有偶数个.（2）找出和的所有“友好划分” 1,2,3,81,2,3,10另补几题:1设为大于 0 的实数，二次函数在区间上有两个实a2( )44f xaxbxc2,3123n a1a2a3anb1b2b3bnDEFIBCAP根.求证：存在一个以为边长的三角形., ,a b c2求证：102 tancot2cot222n in n in i 3. 已知函数，数列
7、满足，且（） ，记21 1( )xf xx na11a 1()nnaf aRn数列的前项和为. nannS（1）求证：.2nS （2）求数列的通项公式. na4. 在直角坐标平面中，点列满足： ；(,)nnnA xy111,22nnxxxn.试问：平面中是否存在一点使得对任何均113,32nnyyy00(,)P xy*iN有？若存在，请求出一个点坐标，若不存在，请说明理由.iPANP5. 已知是单位圆，依如下方法得到平面上的一族圆，0C221xy01,C C，：对于每个，圆位于上半平面中，且与双曲线2C0,1,2n 1nC的两支以及圆均相切.记为圆的半径.221xynCnrnC（1）求证：是一个整数；（2）求的表达式.nrnr
