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1、竞赛讲座竞赛讲座 数学归纳法数学归纳法基础知识基础知识 数学归纳法是用于证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方n 法在数学竞赛中占有很重要的地位 1数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果)(nP当（）时，成立；0nn Nn 0)(nP假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据),(0Nknkkn1 kn)(nP对一切正整数时，成立0nn )(nP（2）第二数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果)(nP当（）时，成立；0nn Nn 0)(nP假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据),(0Nknkkn1 kn)(nP对一切正整数时，成立0nn
2、)(nP2数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法当时，成立，ln, 3 , 2 , 1L)(,),3(),2(),1 (lPPPPL假设时成立，由此推得时，也成立，那么，根据对kn )(kPlkn)(nP一切正整数时，成立1n)(nP（2）反向数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果)(nP对无限多个正整数成立；)(nPn假设时，命题成立，则当时命题也成立，那么根据kn )(kP1 kn) 1( kP对一切正整数时，成立1n)(nP3应用数学归纳法的技巧 （1）起点前移：有些命题对一切大于等于 1 的正整数正整数都成立，但命题本身对n 也成立，而且验证起来比验证时容易，因此用验证成立代替
3、验证，0n1n0n1n同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以因而为了便于起步， 有意前移起点（2）起点增多：有些命题在由向跨进时，需要经其他特殊情形作为基kn 1 kn 础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点 （3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也 应相应增多（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设时命题成立”不可，kn 需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用 （5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或 者需要改变命题即将命题一般化
4、或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明 5归纳、猜想和证明 在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的， 这种不严格的推理方法称为不完全归纳法不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想， 其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明不完全归纳法是发现规 律、解决问题极好的方法 例题分析例题分析 例 1用数学归纳法证明：（）313)2311 ()711)(411)(11 (nnL1,*nNn例 2已知对任意，且*Nn1n0na，求证：2 2133 23 1)(nnaaaaaaLLnan例 3如果正整数不是 6 的倍数，则不是 7 的倍数n11986
5、 n例 4设都是正数，证明naaa,21LnnnaaanaaaLL2121例 5已知函数的定义域为，对于区间内的任意两数均有)(xf,ba,badc,求证：对于任意，均有)()(21)2(dfcfdcf,21baxxxnL)()()(1)(2121 nnxfxfxfnnxxxfLL例 6 试证：对一切大于等于 1 的自然数都有n2sin2212sin cos2coscos21 nnL例 7 试证：对一切自然数（）都有n1n222nn例 8证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于 5 个的正方形例 9设，求证：对一切均有10 aaa11aaann11Nn1na例 10已知，求证：对一切，都是整12
6、1 aann n naaa12 1 2) 1( Nnna数例 11设，是否存在关于正整数的函数使等式nnf1 31 211)(Ln)(ng对于的一切自然数都成立？并证明你 1)()() 1()2() 1 (nfngnfffL2n的结论例 12设整数数列满足，且na11a122a203a证明：任意正整数，是一个整数的平方nnnnaaaa12322n141nnaa例 13设为正数（） ，证明：nxxx,21L2n1212212 12 1432 22 2322 12 1nxxxx xxxx xxxx xxxxnnnnnL例 14已知，（） ，求证：11a211nnnaaa1,*nNn309000a例
7、 15整数列（）满足，且有na1,*nNn7, 221aa求证：时，是奇数221121 nn naaa2nna训练题训练题1证明时，能被 31 整除Nn153222221nL2设不小于 6 的自然数，证明：可以将一个正三角形分成个较小的正三角形nn3用数学归纳法证明：221 41 2111nL4设为自然数，求证：n21 31 211222nL5对于自然数（） ，求证：n3nnnnn) 1(16已知，求证：对于一切，是整数121 aann n naaa12 1 2) 1( *Nnna7设有个球分成了许多堆，我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动：若n2 甲戴盆望天的球数不小于乙堆的球数，则从
8、甲堆拿个球放堆乙堆，这样算是挪动一pqq次证明：可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆8已知数列满足：，（na31a82a202453)(42 21nnaaannn） ，试证：3nn nna22数学归纳法的变着数学归纳法的变着1第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题，n)(nP（1）验证时；0nn )(nP（2）假设时成立，并在此基础上，推出成立。knn0)(nP) 1( kP综合（1） （2）对一切自然数，命题都成立；)(0nn )(nP，命题成立；，对一切自然数综合时命题也成立，当，、又又时当，则：、时，命题成立，即假设当命题成立；可得及时，当证明：，求证：且有】已知对任意【例nknk
9、akakakkaaaaakkakjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaknkjjaknaaaannaaaaNnkkkkkkjjkkkjjjkjjkkkjjkkkkkjjkkkkjjkkkjjkkjjkjjkjjkkjjkkjjkjjjnnjjnjjn)2)(1 (110)()1() 1(22) 1()4321( ,22022)()()()(1)4321( ,)2(, 1, 0,1) 1 (;)(, 0,111112 1 112 11112 1 112 13 11112 13 1112 1212 1 12111133 1213 1 13113112 13 12113 LQQQQ
10、L;2322n nPn个质数求证：第推，算第二个质数，依此类算作第一个质数，大编上序号，【练习】将质数由小到;2)2)(1 (1221,1122122);321( ,2)2(221) 1 (22 12 211121212121222 2122222 2122 111111211nkkkkkkinkkkkkkkkkkiPnknPPPPqPPPPPqPPPPPPPPPPPPPPPkkiPknPn，都有可知，对任何自然数综合时也成立；结论在即：，只能大于或等于、是不可能的质因数，所以都不能整除、，得：个不等式两边分别相乘将这、时结论成立，即：、假设，结论成立；时，、当证：LLLLLQLLLL2 （1
11、）验证);() 1(,),1(),(000NllnPnPnP成立，L（2）假设成立，并在此基础上，推出成立，)(kP)(lkP综合（1） （2）对一切自然数,命题都成立；)(0nn )(nP如下图：时的情况、原命题只须证份小正方形成此时原正方形就可以分个小正方形，等分成份后再拿其中一份任一个正方形分成证：的正整数；是大于块正方形，其中可以剖分为】证明：任一个正方形【例87634452nknknnQ6 个正方形7 个正方形8 个正方形 所以，综上可得原命题成立；原命题成立；综合及归纳假设显然成立时，由时，命题成立，则当假设当可知命题成立；时，由当证明：分的邮资；分的邮票可支付任何分和【练习】试证
12、面值为)2)(1 () 1 (3), 7()2(5510, 3339 , 53810, 9 , 8) 1 (), 7(53knNkkknnNnnn3 （倒推归纳法）（1）对于无穷多个自然数命题成立；)(nP（2）假设成立，并在此基础上推出成立，) 1( kP)(kP综合（1） （2） ，对一切自然数,命题都成立；)(0nn )(nP；个正数全部相等时成立且仅当过程可以看出，等号当都成立，且从证明向归纳原理，对于任意综合上述两方面，由方故可得成立次方，即得：时在上面不等式得两端同于是：时的不等式，令：也成立，为了利用个正数何个正数成立，那么对任对任何下面证明，如果不等式不等式成立；以对一切时，不
13、等式也成立，所可见后一个不等号得之于等号得之于归纳假设，上述推理中，前一个不时，就有：于是当个正数，都有任意时，不等式成立，即对假设当成立；时，即时，有：当使用归纳法；成立，为此对证：先证对一切算术几何平均不等式求证：对于任意个正数，是】设【例nGANnGAAGAkkaaaaaaaaaakaaaa kaaaaaakaknaaakkNmnkmGAGaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAkmGANkkmGAmGaaaaaaaaaaaaaaAmmGANmnGANnaaaGaaanAnaaannkkkk kk kkk kkkkkkkkkkmkkkknnnnnmnnnnnnnnkk kkk
14、k kkk kk kkk kkkkkkkkkk ,)()(11)(11,1)(21,)(21)(21)(2121)(211)(21)(21)2(21)(211),(2)( ;,),(1,31111 11121 1211211211211211212222 2122212 2122 2212 2122 221212221212221122221212121212121221212111 111111LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL)(1sin)sinsin(sin1, 0,212121nnnnnLLL则，证明：如果【练习】用反向归纳法时，不等式成立；综上可得：时不等式成立，故时，当时不等式成立，假设时，不等式成立；即：当时，当时不等式成立，证：先证)( ,21)(21sin)22(21sin)2sin2(sin21)sin(sin21)sinsin(sin2121sinsinsinsinsin211212sin2cos2sin)si
