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1、一 类 面 积 问 题 的 简 解黄 全 福(安徽省怀宁县江镇中学,246142)收稿日期:2007 - 05 - 08文1问题11057是这样的:设x、y、z为实数,矩形ABCD内部有一 点P,满足PA=x,PB=y,PC=z.求矩形面 积的最大值. 文2试图给出上述问题的解答,但解答 有误;文3中指出了文2错误的原因,并给出了上述问题的一个微分解法;文4给出了 一个三角解法,颇为有趣.本文将给出一个比 较简易的几何解法.图1解:如图1 ,作PQBC,构造凸四边形PCQD.易知DQ=PA=x,CQ=PB=y. 利用广义托勒 密定理于凸四边形PCQD,有PQCDDQPC+CQPD,即 BCCD
2、xz+yPD.图2如图2 ,联结AC、BD交于点O,易知AC=BD且O为AC、BD 的公共中点.在 PAC、PBD 中,由于PA2+PC2=2OA2+2OP2,PB2+PD2= 2OB2+ 2OP2, 则PA2+PC2=PB2+PD2.故PD2=PA2+PC2-PB2=x2+z2-y2,即 PD=x2+z2-y2. 将式 代入式 得BCCDxz+yx2+z2-y2.故(S矩形ABCD)max=xz+yx2+z2-y2.顺便指出,当矩形ABCD面积取最大值 时,必有PQCD=DQPC+CQPD. 此时,P、C、Q、D四点共圆.于是, PAB=QDC=QPC=PCB; CPD+CQD= 180 C
3、PD+APB=180; PCQ+PDQ= 180 BPC+APD=180. 利用这个关系,再加上余弦定理,不难求 出AB、BC的长度(用x、y、z表示) .观察以上解答过程,其关键步骤是利用了广义托勒密定理.这充分说明广义托勒密 定理对于处理这类面积问题具有不可替代的 功效.下面再来研究一例. 例 在 ABC中,ABC= 60,点P在 形内.已知PA= 10 ,PB= 6 ,PC= 7.求ABC面积的最大值.图3解:如图3 ,作?ABCD,并作PQBC,联结DQ、CQ、PD.易 知DQ=PA=10 ,CQ=PB=6. 设PD=x. 欲求(SABC)max,只要求(S?ABCD)max,但ABC
4、=60,即求(ABBC)max.在凸四边形PCQD中,应用广义托勒密 定理有312007年第10期PQCDDQPC+CQPD,即 ABBC70 + 6x.显然,当P、C、Q、D四点共圆,即 PAB=QDC=QPC=PCB 时,才有ABBC=70 + 6x. 联结BD交AC于点O,再联结PO.在 PBD、 PAC中,PO是它们的公共 中线,于是,PB2+PD2= 2OB2+ 2OP2,PA2+PC2=2OA2+2OP2. 两式相减得(PB2+PD2) - (PA2+PC2)=2(OB2-OA2)=1 2(BD2-AC2)=1 2(BD2+AC2) -AC2=AB2+BC2-AC2=ABBC,即
5、ABBC=62+x2- 102- 72=x2- 113. 比较式 、 得x2- 6x- 183 = 0.解得x= 3 + 8 3(负值舍去) .故(SABC)max=1 2ABBCsinABC=1 2(70 + 6x) sin 60=3 470 + 6(3 + 8 3) = 36 + 22 3. 顺便 指 出,当SABC取 最 大 值 时,令PAB=PCB=,可利用图形特点求出sin=3 73以及AB、BC的长度(只需作PMAB于点M,PNBC于点N,显然,P、M、B、N四点共圆,该圆直径为PB= 6 ,且 MPN= 120) .参考文献:1 Problem 11057.Amer.Math.M
6、onthly. J .2004(111) .2 杨志明.美国数学月刊问题征解11057的简解及类比J .数学通讯,2004(23) .3 郭要红,丁亚元,谢亚义.一类矩形面积的最大值J .中学数学教学,2005(3) .4 董林,巴兆彬.一类矩形面积最大值问题的初等解法J .数学通讯,2007(4) .数学教育学报 征订启事数学教育学报 是中国联合国教科文组织指导刊物,王梓坤院士任主编,全国60多所高师院校与著名中学集资办刊,天津师大、 中国教育学会为主办单位,北京师大、 华东师大、 南京师大等10所高师院校为协办单位,是目前国内数学教育领域最高层次的学术性刊物。2004年 数学教育学报 先后
7、被北京大学图书馆与中国科技部国家信息研究中心评为全国中文核心期刊(数学类)与中国科技核心期刊。开设的主要栏目有:数学教育概论、 展望与争鸣、 现代教育技术与数学教学、 调查与实验、 比较数学教育、 中小学数学教育改革以及不定期开设密切贴近中小学数学教育改革实践的专栏。数学教育学报 自2008年起改为双月刊,104页,大16开,2008年全年订价60元。邮局邮发代号:6 - 132网址:http : sxyb. chinajournal. net. cn E2mail :sxjyxbbjb 163. com邮编:300074 地址:天津市河西区卫津路241号天津师范大学129信箱电话:022 - 2354103441中 等 数 学
