《高中数学第二章推理与证明2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例学案新人教b版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章推理与证明2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例学案新人教b版选修2-2（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12 23.13.1 数学归纳法数学归纳法2 23.23.2 数学归纳法应用举例数学归纳法应用举例1了解数学归纳法的原理(重点、易混点)2掌握数学归纳法的步骤(难点)3能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(难点)基础初探教材整理 数学归纳法阅读教材 P69P72，完成下列问题数学归纳法的定义一个与_相关的命题，如果(1)_；(2)在假设当_时命题也成立的前提下，推出当nk1 时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立【答案】 自然数 (1)当n取第一个值n0时命题成立(2)nk(kN N，且kn0)判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)与正整数n有关的数学命题的
2、证明只能用数学归纳法( )(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为 1.( )(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可( )【答案】 (1) (2) (3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 2小组合作型用数学归纳法证明等式(1)用数学归纳法证明等式 123(n3)(nN N)时，n3n4 2第一步验证n1 时，左边应取的项是( )A1 B12C123D1234(2)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN N)，“从k到k1”左端增乘的代数式为_. 【导学号：05410051】【自主解
3、答】 (1)当n1 时，左边应为 1234，故选 D.(2)令f(n)(n1)(n2)(nn)，则f(k)(k1)(k2)(kk)，f(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，所以fk1 fk2(2k1)2k12k2 k1【答案】 (1)D (2)2(2k1)数学归纳法证题的三个关键点1验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是 1.2递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk到nk1 时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项3利用假设是核心在第二步证明nk1 成立时，一定要
4、利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1” ，在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法再练一题1下面四个判断中，正确的是( )3A式子 1kk2kn(nN N)中，当n1 时，式子的值为 1B式子 1kk2kn1(nN N)中，当n1 时，式子的值为 1kC式子 1 (nN N)中，当n1 时，式子的值为 1 1 21 31 2n11 21 3D设f(n)(nN N)，1 n11 n21 3n1则f(k1)f(k)1 3k21 3k31 3k4【解析】 A 中，n1
5、时，式子1k；B 中，n1 时，式子1；C 中，n1 时，式子1 ；1 21 3D 中，f(k1)f(k).1 3k21 3k31 3k41 k1故正确的是 C.【答案】 C用数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明不等式(n2，nN N)的过程1 n11 n21 nn13 24中，由nk推导nk1 时，不等式的左边增加的式子是_(2)证明：不等式 1.1 211 227 1213 24假设当nk(k2 且kN N)时不等式成立，即，1 k11 k21 2k13 24那么当nk1 时，1 k21 k31 2k11 k21 k31 2k1 2k11 2k21 k11 k1(1 k11 k21
6、k31 2k)1 2k11 2k21 k113 241 2k11 2k21 k113 241 2k11 2k2.13 241 22k1k113 24这就是说，当nk1 时，不等式也成立由可知，原不等式对任意大于 1 的正整数都成立归纳猜想证明已知数列an的前n项和为Sn，其中an且a1 .Sn n2n11 3(1)求a2，a3；(2)猜想数列an的通项公式，并证明【精彩点拨】 (1)令n2,3 可分别求a2，a3.(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明【自主解答】 (1)a2，a1 ，S2 22 21a1a2 61 35则a2，类似地求得a3.1 151 35(
7、2)由a1，a2，a3，猜得：1 1 31 3 51 5 7an.1 2n12n1证明：当n1 时，由(1)可知等式成立；假设当nk时猜想成立，即ak，那么，当nk1 时，由1 2k12k1题设an，Sn n2n1得ak，ak1，Sk k2k1Sk1 k12k1所以Skk(2k1)akk(2k1)，1 2k12k1k 2k1Sk1(k1)(2k1)ak1，ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1.k 2k1因此，k(2k3)ak1，k 2k1所以ak11 2k12k3.1 2k112k11这就证明了当nk1 时命题成立由可知命题对任何nN N都成立1 “归纳猜想证明”的一般环节2 “归纳猜想证
8、明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在(3)给出一些简单的命题(n1,2,3，)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题6再练一题3已知函数yf(n)(nN N)，设f(1)2，且任意的n1，n2N N，有f(n1n2)f(n1)f(n2)(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明【解】 (1)因为f(1)2，f(n1n2)f(n1)f(n2)，所以f(2)f(11)f(1)f(1)224，f(3)f(21)f(2)f(1)222238.f(4)
9、f(31)f(3)f(1)2322416.(2)猜想：f(n)2n(nN N)用数学归纳法证明如下：当n1 时，f(1)212，所以猜想正确假设当nk(k1，kN N)时猜想正确，即f(k)2k，那么当nk1 时，f(k1)f(k)f(1)2k22k1，所以，当nk1 时，猜想正确由知，对任意的nN N，都有f(n)2n.探究共研型用数学归纳法证明整除性问题探究 1 数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为 1?【提示】 不一定，如证明n边形的内角和为(n2)180时，第一个值为n03.探究 2 数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？【提示】 第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据
10、，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数列命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了用数学归纳法证明：n3(n1)3(n2)3能被 9 整除(nN N)【精彩点拨】 在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑【自主解答】 (1)当n1 时，13233336 能被 9 整除，所以结论成立；(2)假设当nk(kN N，k1)时结论成立，即k3(k1)3(k2)3能被 9 整除则当nk1 时，
11、(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k277k3(k1)3(k2)39(k23k3)因为k3(k1)3(k2)3能被 9 整除，9(k23k3)也能被 9 整除，所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被 9 整除，即nk1 时结论也成立由(1)(2)知命题对一切nN N成立与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将nk1 时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来.再练一题4用数学归纳法证明“n35n能被 6 整除”的过程中，当nk1 时，对式子(k1)35(k1)应变
12、形为_【解析】 由nk成立推证nk1 成立时必须用上归纳假设，(k1)35(k1)(k35k)3k(k1)6.【答案】 (k35k)3k(k1)6构建体系1用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n2)”时，归纳奠基中n0的取值应为( )A1 B2C3D4【解析】 边数最少的凸n边形为三角形，故n03.【答案】 C2用数学归纳法证明 1aa2an1(nN N，a1)，在验证n11an2 1a成立时，左边所得的项为( )A1B1aa2C1aD1aa2a3【解析】 当n1 时，n12，故左边所得的项为 1aa2.8【答案】 B3用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1 时，表达式为_. 【导学号：05410052】【解析】 当nk1 时，应将表达式 1427k(3k1)k(k1)2中的k更换为k1.【答案】 1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)24以下是用数学归纳法证明“nN N时，2nn2”的过程，证明：(1)当n1 时，2112，不等式显然成立(2)假设当nk(kN N)时不等式成立，即 2kk2.那么，当nk1 时，
