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1、2012-10-12xcl74-1第三章第三章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 ( (重点 难点重点 难点）2012-10-12xcl74-21向量组及其线性组合1向量组及其线性组合2012-10-12xcl74-3定义1：定义1：n个有次序的数个有次序的数a1,a2,an所组成的数组，如称为所组成的数组，如称为维向量维向量，其中，其中niai称为第 个分量称为第 个分量注：注： 1.所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时， 都当作列向量； 2.本书中，列向量用字母1.所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时， 都当作列向量； 2.本书中，列向量用字母, 等表示，行向量用等表示，行
2、向量用 ,TTT等表示.等表示.nnaaaaaa?2121),(或或2012-10-12xcl74-4定义定义2：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称 为若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称 为向量组向量组11121314342122232431323334aaaa Aaaaaaaaa = =( () )1234, = =123TTT = = 结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应有限向量组有限向量组2012-10-12xcl74-5定义3：定义3：线性运算线性运算定义4：定义4：给定向量组给定向量组 A: a1, a2, ,
3、am和向量和向量b b，如果 存在一组实数，如果 存在一组实数 k1, k2, , km，使得，使得 b b = k1a1+ k2a2+kmam则向量则向量b b 是向量组是向量组A A 的的线性组合线性组合，且称向量，且称向量b b 能 由向量组能 由向量组A A线性表示线性表示设则设则),(),(2121nnbbbbaaaa?= = =),()2(),()1(212211nnn kbkbkbkbbabababa?=+=+=+=+2012-10-12xcl74-6例例1：设设()()123100 ,010 001Ee e e = =1002 03 17 0001 =+ =+ 123237ee
4、e=+=+2 37b = 那么 = 那么线性组合的系数线性组合的系数e1, e2, e3的线性组合的线性组合一般地，对于任意的一般地，对于任意的 n 维向量维向量b ，必有，必有+=+=1000010000100001321321? ?nnbbbbbbbbb2012-10-12xcl74-7注：注：任一向量都可由单位坐标向量组线性表示任一向量都可由单位坐标向量组线性表示.2012-10-12xcl74-8定义定义5：设有向量组设有向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl， 若向量组， 若向量组 B 中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，
5、则称线性表示，则称向量组向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示若向量组若向量组 A 与向量组与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个能互相线性表示，则称这两个向量组等价向量组等价性质：性质：（与矩阵等价类似）1.反身性；2.对称性；3.传递性。（与矩阵等价类似）1.反身性；2.对称性；3.传递性。2012-10-12xcl74-9设列向量组设列向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl， 若向量组， 若向量组B 能由向量组能由向量组 A 线性表示，即线性表示，即11211121122112212222mlmlmmlmlmbk ak akabk ak
6、 akabk ak ak a=+=+=+?=+=+=+?()()()()111222 112212 1212,mmmmllmlllkkk kkkb bba aakkk = ? ? ? = ? ? ?线性表示的 系数矩阵线性表示的 系数矩阵2012-10-12xcl74-10注注1：列向量组列向量组A：a1, a2, , am 及及B：b1, b2, , bl， 若向量组， 若向量组B能由向量组能由向量组A线性表示，即存在矩阵线性表示，即存在矩阵Kml使得使得B=AK注注2：行向量组行向量组A：a1, a2, , am 及及B：b1, b2, , bl， 若向量组， 若向量组B能由向量组能由向量
7、组A线性表示，即存在矩阵线性表示，即存在矩阵Kml使得使得A=KB定理定理1：若向量组若向量组A：a1, a2, , am 可由向量组可由向量组B：b1, b2, , bl线性表示，则线性表示，则)()(BRAR 2012-10-12xcl74-11若若Cmn= AmlBln，即，即则则()()()()1112121222 121212,nn nllllnbbbbbbc cca aabbb = ? ? = ? ?即：即：矩阵矩阵C的列向量组的列向量组能由矩阵能由矩阵A的列向量组的列向量组线性表示，线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵为这一线性表示的系数矩阵1112111121111212122
8、22122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllncccaaabbb cccaaabbbcccaaabbb = ? ? ? ? = ? ? ? ?2012-10-12xcl74-12若若Cmn= AmlBln，即，即111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllncccaaabbb cccaaabbbcccaaabbb = ? ? ? ? = ? ? ? ?则则1112111212222212TT l TT lTT mmmlmlaaarbaaarbaaarb = ? = ?即：即：矩阵矩阵C的行向量组的行向量组能由
9、矩阵能由矩阵B的行向量组的行向量组线性表示，线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵为这一线性表示的系数矩阵2012-10-12xcl74-13注3：注3：若若 C = AB ，那么那么矩阵矩阵 C 的的行向量组行向量组能由矩阵能由矩阵B的行向量组的行向量组线性表示，线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵（为这一线性表示的系数矩阵（A 在左边）在左边）矩阵矩阵 C 的的列向量组列向量组能由矩阵能由矩阵 A 的列向量组的列向量组线性表示，线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵（B 在右边）为这一线性表示的系数矩阵（B 在右边）即 行左列右即 行左列右2012-10-12xcl74-14例1例1:向量:向
10、量b=(1,2)T ,a1=(1,0)T,a2=(1,1)T问问b能不能由能不能由a1,a2线 性表示线 性表示.解解: 设设x1a1 +x2a2 =b则则 = =+ = =+21 2 121221 xxxxx即即b= -a1 +2a2 2012-10-12xcl74-15注4：注4：对于方程组对于方程组 =+=+=+=+nmnmnnmmbxaxaxabxaxaxa?221111212111 有解有解令令T niiiimaaaaaaaA),( ),(2121?=b能由向量组能由向量组a1,a2, , am线性表示线性表示bxaxaxamm= =+ + + +?2211有解有解2012-10-1
11、2xcl74-162向量组的线性相关性2向量组的线性相关性2012-10-12xcl74-17一定义一定义定义定义1：给定向量组给定向量组 A：a1, a2, , am，如果存在如果存在不全为零不全为零的实数的实数x1, x2, , xm，使得使得x1a1 + x2a2 + + xmam=0（零向量）（零向量）(1)则称向量组则称向量组A 是是线性相关线性相关的，否则称它是的，否则称它是线性无关线性无关的的即即当且仅当当且仅当x1=x2=xm=0时时(1)成立，向量组成立，向量组A 是线性无关是线性无关.2012-10-12xcl74-18注：注：1.含有含有零向量零向量的向量组必然线性相关；
12、的向量组必然线性相关；2.两个向量组两个向量组a1, a2线性相关当且仅当线性相关当且仅当a1, a2的分量对应成比例，几何意义是两向量共线；3.的分量对应成比例，几何意义是两向量共线；3.a1, a2, a3线性相关的几何意义是三个向量共面线性相关的几何意义是三个向量共面2012-10-12xcl74-19例1：例1：证明：证明：n维单位坐标向量组维单位坐标向量组e1，e2, ,en线性无关.线性无关.例例2：讨论的线性相关性讨论的线性相关性 = = = = = = 631 , 520 , 111321aaa2012-10-12xcl74-20定理定理1：向量组向量组A：a1, a2, , am 线性相关线性相关存在存在不全为零不全为零的实数的实数x1, x2, , xm，使得，使得x1a1 + x2a2 + + xmam=0m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax= 0 有非零解向量组有非零解向量组A中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余m1 个向量线性表示个向量线性表示二判定定理（重点、难点）二判定定理（重点、难点）2012-10-12xcl74-21定理定理2：向量组向量组A：a1, a2, , am 线性线性无关无关如果如果k1a1+ k2a2+ + kmam=0，则必有，则必有 k1= k2= = km=0m 元齐次线性方程组元齐
