相似三角形及相似三角形教案

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1、第二课时 相似三角形、探索三角形相似的条件 教学难点:1、相似三角形的有关概念 2、相似三角形的性质 3、判定三角形相似的方法及思路 教学内容: 一、相似三角形的有关概念: 相似三角形:三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 A AB CB C 记法:ABC 与ABC相似,记作ABCABC。读作ABC 相似于ABC 注意:a 对应性:两个三角形相似时通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样比 较容易找到相似三角形的对应角和对应边。找对应元素同全等三角形。 b 顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的,如:ABCABC 他们的相似比为 k,则 k=,如果写成ABC ABC,它们

2、的相似比是 k,则 CAAC CBBC BAABk=,因此 k=ACCA BCCB ABBA 1 kc 传递性:若ABCABC, ABC ABC,则ABCABC 例 1 试说出图中有哪几对相似三角形,并求出 相似三角形的对应边的比例。二、相似三角形的性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例,对应线段的比等 于相似比。 (根据这一性质可以计算角的度数或变得长度) 例 2 ABCABC,A=70o,B=60o,求C的度数。例 3 已知AOBDOC,若 AO2,DO3,CD5,求 AB 的长。易错点: 例 4 如图,在ABC 中,AB=10cm,BC=20cm,点 P 从 A 开始沿边 AB 向

3、B 点以 2m/s 的速 度移动,点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 4m/s 的速度移动,如果点 P、Q 分别从 A、B 同时出发,问经过几秒钟,PBQ 和ABC 相似。 (注意两种情况如图)OABCD常见考法:a 求角的度数如例 2 , b 求边的长度 如例 3 , c 求三角形的周长,如 :两个相似三角形最长边分别是 35cm 和 14cm,其中较大一个三角 形的周长为 60cm, 则另一个三角形的周长是 d 求边的比值 ,e 三角形在生活中的应用。 二、判定三角形相似的方法及思路 判定三角形相似的条件: 1、 定义法:对应角相等,对应边成比例数学语言:若A=A,B=B,C=

4、C,且,CAAC CBBC BAAB2、 平行法:平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交 数学语言:若 DE/BC, 则ABCADE 3、 角的关系:有两角对应相等 数学语言:若A=A,B=B, 则ABCABC 4、 边的关系:三边对应成比例数学语言:若,则ABCABCCAAC CBBC BAAB5、 边和角的关系:两边对应成比例且夹角相等数学语言:若,且A=A,则ABCABCCAAC BAAB注:a 应用角的关系证明相似时,关键是寻找对应角。在证明过程中要特别注意“公共角” 、 “对顶角” 、 “同角的余角或补角”都是相等的。 b 应用边和角的关系,证明相似时,一定注意是“夹

5、角”相等,而不是对角或邻角 基本思路: 先找两个角对应相等的条件,因为用它来判断三角形相似比较简单。若只找到一个角对应 相等,可再找相应角的两条夹边对应成比例。若已有两边对应成比例的条件,应找它们的 夹角相等,以上均不奏效,就只能找三边对应成比例的条件了。三、相似三角形的基本图形及常用结论 (一) 平截型(A 型和 X 型) 如果 DE/BC,就可以得到“A 型”和“X 型”两种平截型相似基本图形。 结论:aADEABC;b等。ECAE DBAD BCDE ACAE ABAD,(二) 斜截型(斜 A 型和斜 X 型) 两种斜截型的相似基本图形:“斜 A 型”和“斜 X 型” 。若CDE=A,C

6、DE=B,则CDECAB. 若D=A,B=E,则DCEACB。 (三) 公边公角型 将斜 A 型中的线段 DE 向下移,当点 D 与点 B 重合时就可得到一种具有公共边和公共角的 相似基本图形。公边公角型的重要结论:在有公共边公共角的两个相似三角形中,公共边是两个三角形落 在一条直线上的两边的比例中项。若CBE=A,CEB=CBA,则ABCBEC。推导的结论:或,ECBC BCACBC2=ACEC。 四、题型 1、 条件开放型问题 例 5 如图,D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 上的点,当添一个条件_时,ADE 与ABC 相似. 2、 结论开放型问题 例 6 如图,在 RtABC 中,B

7、AC=90o ,点 D 是 AC 上一点,ABD=C,直线 EF 过点 D, 与 BA 的延长线相交于点 F,且 EFBC 垂足为点 E。 (1)写出图中所有与BAD 相似的三角形:(2)探索:设是否存在这样的 t 值,, tABAC使得ADFEDB?并说明理由。五、相似三角形的应用的三种类型: 1、 解决同一时刻物高和影长的问题:(在同一时刻物高和影长成正比) 2、 利用相似测量不易直接测量的物体的高度或宽度; 3、 利用相似图形进行图形方案设计等。 应用相似三角形解决问题的两个原则: 利用相似三角形的有关知识解决实际问题的核心是构造相似三角形,在构造的三角形中被 测物体必是其中的一边。 构

8、造三角形的方法很多,只需把握所构造的三角形除被测物体外其余的对应边易测量这一 原则。例 7 如图,在同一时刻,测得小华和旗杆的影长分别为 1m 和 6m,小华的身高约为 1.6m,则旗杆的高约为 m例 8 数学兴趣小组想测量一棵树的高度,在阳光下,一名同学测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.8 米同时另一名同学测量一棵树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图) ,其影长为 1.2 米,落在地面上的影长为 2,4 米,则树高为 米思考: 如图,在斜坡的顶部有一铁塔 AB,B 是 CD 的中点,CD 是水平的,在阳光的照射下,塔影 DE 留在坡面上已知1m6m铁塔底座宽 CD=12 m,塔影长 DE=18 m,小明和小华的身高都是 1.6m,同一时刻,小明站在点 E 处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为 2m和 1m,那么塔高 AB 为( )A24m B22m C20 m D18 m巧构相似,妙证等积 1、 如图在ABC 中,B=2C,证明 AC2=AB2+AB.BC.2、等腰ABC 中,AB=AC,BDAC 于点 D, 试说明 BC2=2AC.CD3、如图,ABC 和ABD 在公共边的同旁, AC 和 BD 交于点 E,且C+D=180o ,试证明 AB2=AE.AC+BE.BD.

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