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1、- 1 -向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何意义(15(15 分钟分钟 3030 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 4 4 分，共分，共 1212 分分) )1.(2015诸暨高一检测)边长为 1 的正方形 ABCD 中，|+|=( )ABA.2B.C.1D.222【解析】选 B.|+|=|=.ABA12+ 1222.若在ABC 中，=a a，且|a a|=|b b|=1，|a a+b b|=，则ABC 的形状是( )A2A.正三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形【解析】选 D.因为|a a|2+|b b|2=|a a+b b|2，且|a a|=|b b
2、|=1，所以ABC 是等腰直角三角形.【补偿训练】在四边形 ABCD 中，+=，则此四边形肯定为( )AAAA.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形【解析】选 A.由向量加法的平行四边形法则，不能得出对角线相等或邻边相等，所以一定为平行四边形.3.P 为四边形 ABCD 所在平面上一点，+=+，则 P 为( )PPPPACA.四边形 ABCD 对角线交点B.AC 中点C.BD 中点D.CD 边上一点【解析】选 B.利用向量的三角形法则可得：=+，=+.由于+=+AAPCCPPPPPA可得+=+，即+=0 0.CPPACPP二、填空题二、填空题( (每小题每小题 4 4 分，共分，共 8 8 分
3、分) )4.化简：+=_.POQM【解析】因为+=(+)+(+).=+=POQMPQOMPOP答案：P- 2 -【补偿训练】化简+等于( )AEBA. B. C. D.ACAB【解析】选 C.因为+=(+)+=+=.AEBAEBABA5.(2015衡阳高一检测)雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是 4.0m/s，现在有风，风使雨滴以m/s 的速度水平向西移动，则雨滴着地时的速度为_.4 33【解析】如图所示，设风速为，无风时雨滴下落的速度是，雨滴着地的速度为，ABA因为+=，在 RtABC 中，=(m/s).ABA|A| |2+ | |2(4 33)2+ 428 33答案
4、：m/s8 33【补偿训练】(2014台州高一检测)在某地区地震后，一架救援直升飞机从 A 地沿北偏东 60方向飞行了 40km 到 B 地，再由 B 地沿正北方向飞行 40km 到达 C 地，求此时直升飞机与 A 地的相对位置.【解析】如图所示，设，分别是直升飞机两次位移，AB则表示两次位移的合位移，即=+，在 RtABD 中，|=20km，|=20km，所以AAABDA3|=40(km)，CAD=60，即此时直升飞机位于 A 地北偏东 30，A(20 + 40)2+ (20 3)23- 3 -且距离 A 地 40km 处.3三、解答题三、解答题6.(10 分)如图，已知向量 a a，b b
5、，c c，d d，(1)求作 a a+b b+c c+d d.(2)设|a a|=2，e e 为单位向量，求|a a+e e|的最大值.【解析】(1)在平面内任取一点 O，作=a a，=b b，=c c，=d d，则=a a+b b+c c+d d.OABCO(2)在平面内任取一点 O，作=a a，=e e，OA则 a a+e e=+=，OAO因为 e e 为单位向量，所以点 B 在以 A 为圆心的单位圆上(如图所示)由图可知当点 B 在点 B1时，O，A，B1三点共线，|即|a a+e e|最大，最大值是 3.O【延伸探究】本题中，条件不变，求|a a+e e|的最小值.- 4 -【解析】由
6、图示可知当点 B 在点 B2时，O，A，B2三点共线，|即|a a+e e|最小，最小值是 1.O(15(15 分钟分钟 3030 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分，共分，共 1010 分分) )1.(2015济宁高一检测)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果与向量 AC1共线的有( )(+)+；ABC1(+)+；A1 A11 D11(+)+；AB1 B11(+)+；A1 A11 B11A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【解析】选 D.由向量的运算可得：(+)+=+=，与向量共线；ABC1AC1A1A1(+)+=+=，与向量共线；
7、A1 A11 D11A1 D11A1A1(+)+=+=，与向量共线；AB1 B11A1 B11A1A1(+)+=+=，与向量共线.A1 A11 B11A1 B11A1A12.向量(+)+(+)+化简后等于( )AMBBOA.B.C.D.BAAA【解析】选 C.(+)+(+)+=+=+= AMBBOABOMBAOMB+=+=.AMBABA- 5 -二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分，共分，共 1010 分分) )3.如图所示，O(0，0)，A(-2，-1)，B(0，1)，则|+|=_.OO【解析】取点 C 的坐标为(-2，0)，则四边形 OACB 为平行四边形，所以|+|=|=2
8、.OOO答案：24.已知 a a=3，b b=5，则 a a+b b 模长的最大值是_.【解析】当 a a，b b 同向时，向量 a a+b b 模长取最大值，所以|a a+b b|=3+5=8.答案：8三、解答题三、解答题5.(10 分)O 为ABC 内任意一点，如图所示，D，E，F 分别为 AB，BC，CA 的中点.求证：+=+.OOOOOO【解析】由题意知，=+，=+，OODOOE=+，所以+=+.因为 D，E，F 分别为 AB，BC，CA 的中点，OOFOOOOOODEF所以+= (+)=0 0，所以+=+.DEF1 2BCAOOOOOO- 6 -【一题多解】本题还可以按如下方法解决：
9、因为 D，E，F 分别为 AB，BC，CA 的中点，所以+=2；+=2；+=2；以上三式OOOOOOOOO相加得：2(+)=2(+).所以+=+.OOOOOOOOOOOO【拓展延伸】用向量的加法证明几何问题的一般步骤(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量.(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.充分利用平行四边形，三角形的性质，如平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分，三角形三边满足的性质等.(3)还原成几何问题进行求解.【补偿训练】如图所示：P，Q 是三角形 ABC 上两点，且 BP=QC，求证：+=+.AAAA【解题指南】结合图形，以三角形法则为工具，以与的关系为纽带来解题.PQ【证明】=+，=+，AAPAAQ所以+=+，又因为与大小相等，方向相反，所以+=0 0，故AAAPAQPQPQ+=+0 0=+.AAAAAA
