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1、12.4.22.4.2 抛物线的几何性质抛物线的几何性质(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1已知点P(6，y)在抛物线y22px(p0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于 8，则焦点F到抛物线准线的距离等于( )A2 B1 C4 D8【解析】 抛物线y22px(p0)的准线为x ，因为P(6，y)为抛物线上的点，所p 2以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以 6 8，所以p4，即焦点F到抛物p 2线准线的距离等于 4，故选 C.【答案】 C2抛物线y24x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其面积为( )A2 B4 3C6 D43【解析
2、】 据题意知，FPM为等边三角形，|PF|PM|FM|，PM抛物线的准线设P，则M(1，m)，等边三角形边长为 1，又由F(1,0)，|PM|FM|，(m2 4，m)m2 4得 1，得m2，等边三角形的边长为 4，其面积为 4，故选 D.m2 4112m233【答案】 D3已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )Ax1 Bx1Cx2 Dx2【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得Error!得，(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)又y1y24， k1，p2.y1y2
3、x1x22p 4p 2所求抛物线的准线方程为x1.【答案】 B24设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为 30的直线交C于A，B两点，则|AB|( )A. B6 303C12 D73【解析】 焦点F的坐标为，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y(3 4，0)3333，(x3 4)即yx，代入y23x，3334得x2x0，1 37 23 16设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，21 2所以|AB|x1x2 12，故选 C.3 221 23 2【答案】 C5过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x26，那么|AB|等于( )A10
4、 B8 C6 D4【解析】 由题意知p2，|AB|x1x2p8.故选 B.【答案】 B二、填空题6抛物线y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_【解析】 设抛物线上点的坐标为(x，)，此点到准线的距离为x ，到顶点的x1 4距离为，由题意有x ，x ，y，此点坐标x2x21 4x2x21 824为.(1 8， 24)3【答案】 (1 8， 24)7直线ykx2 与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k_.【解析】 当k0 时，直线与抛物线有唯一交点，当k0 时，联立方程消去y得k2x24(k2)x40，由题意16(k2)216k20，k1.【答案】 0 或 18平面上一机器人在行进中始终保
5、持与点F(1,0)的距离和到直线x1 的距离相等若机器人接触不到过点P(1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_. 【导学号：15460049】【解析】 设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1,0)为焦点，x1 为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y24x.过点P(1,0)，斜率为k的直线为yk(x1)由Error!得ky24y4k0.当k0 时，显然不符合题意；当k0 时，依题意得(4)24k4k0，解得k1 或k0)的焦点为F，过F作倾斜角为 30的直线与抛物线交于A，B两点，若(0,1)，则( )|AF| |BF|AF| |BF|A. B 1 51 4C D1 31 2【解
6、析】 因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为 30的直线的方程为(0，p 2)yx ，与抛物线方程联立得x2pxp20，解方程得xAp，xBp，所以33p 22 33333 ，故选 C.|AF| |BF|xA| |xB|1 3【答案】 C2已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若0，则k( )MAMBA. B 1 2225C D22【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则过焦点且斜率为k的直线的方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24
7、，x1x24，所以y1y2k(x1x2)8 k24k ，y1y2k2x1x22(x1x2)416，因为0，所以(x12)(x22)8 kMAMB(y12)(y22)0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k24k40，所以k2，故选D.【答案】 D3抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1 相交于A，B两点，x2 3y2 3若ABF为等边三角形，则p_. 【导学号：15460050】【解析】 由于x22py(p0)的准线为y ，由Error!p 2解得准线与双曲线x2y23 的交点为A，B，所以AB2.( 31 4p2，p 2)(314p2，p 2)314p2由ABF为等边三角形，得ABp，解得p6.32【答案】 64已知抛物线xy2与过点(1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当OAB的面积等于时，求k的值10【解】 过点(1,0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)，由方程组Error!消去x，整理得ky2yk0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1y2 ，y1y21.1 k设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(1,0)SOABSOANSOBN |ON|y1| |ON|y2| |ON|y1y2|，1 21 21 2SOAB，1 2 y1y224y1y21 21 k2410解得k 或 .1 61 6
