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1、- 1 -抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程(25(25 分钟分钟 6060 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分) )1.(2014安徽高考)抛物线 y=x2的准线方程是( )1 4A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2【解析】选 A.y=x2x2=4y，所以抛物线的准线方程是 y=-1.1 42.(2015大连高二检测)点 M(5，3)到抛物线 y=ax2准线的距离为 6，那么抛物线的方程是 ( )A.y=12x2B.y=12x2或 y=-36x2C.y=-36x2D.y=x2或 y=-x21 121 36【解析】选 D.分两类
2、 a0，a0),则抛物线过点(40,30),302=2p40,2p=,所以抛物45 2- 2 -线的方程应为 y2=x,所给选项中没有 y2=x,但方程 x2=-y 中的“2p”的值为,所以选项 C符合题45 245 245 245 2意.5.(2015重庆高二检测)O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，P 为 C 上一点，若2|PF|=4，则POF 的面积为 ( )2A.2B.2C.2D.423【解题指南】由|PF|=4及抛物线的定义求出点 P 的坐标，进而求出面积.2【解析】选 C.抛物线 C 的准线方程为 x=-，焦点 F(，0)，由|PF|=4及抛物线的定义知，P 点2
3、22的横坐标 xP=3，从而 yP=2，26所以=|OF|yP|=2=2.S 1 21 2263二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分，共分，共 1515 分分) )6.(2015邢台高二检测)若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0，3)的距离小 2，则点 P 的轨迹方程是_.【解析】由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0，3)的距离，故点 P 的轨迹是以点(0，3)为焦点，以 y=-3 为准线的抛物线，且 p=6，所以其标准方程为 x2=12y.答案：x2=12y7.若抛物线 y2=-2px(p0)上有一点 M，其横坐标为-9，它到焦点的距离为 10，则
4、点 M 的坐标为_.【解析】由抛物线方程 y2=-2px(p0)，得其焦点坐标为 F(-，0)，准线方程为 x=，设点 M 到准线的p 2p 2距离为 d，则 d=|MF|=10，即-(-9)=10，p 2所以 p=2，故抛物线方程为 y2=-4x.将 M(-9，y)代入抛物线方程，得 y=6，所以 M(-9，6)或 M(-9，-6).答案：(-9，-6)或(-9，6)【补偿训练】(2015皖南八校联考)若抛物线 y2=2x 上一点 M 到坐标原点 O 的距离为，则点 M 到抛物3线焦点的距离为_.- 3 -【解析】设 M(x，y)，则由y2= 2, 2+ 2= 3,?得 x2+2x-3=0.
5、解得 x=1 或 x=-3(舍).所以点 M 到抛物线焦点的距离 d=1-=.(-1 2)3 2答案：3 28.已知 F 是抛物线 y=x2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方程是_.1 4【解析】由 y=x2得 x2=4y，所以 F(0，1).设线段 PF 的中点 M(x，y)，P(x0，y0)，则1 4x =0+ 02, =0+ 12,?即又 P(x0，y0)在 x2=4y 上，x0= 2, 0= 2 1.?故 4x2=4(2y-1)，得 x2=2y-1.答案：x2=2y-1三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分，共分，共 2020 分分) )9.(20
6、15吉林高二检测)已知动圆 M 与直线 y=2 相切，且与定圆 C：x2+(y+3)2=1 外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程.【解题指南】设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r，则由题意可得 M 到 C(0，-3)的距离与到直线 y=3 的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求.【解析】设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r，则由题意可得 M 到 C(0，-3)的距离与到直线 y=3 的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以 C(0，-3)为焦点，y=3 为准线的一条抛物线，其方程为 x2=-12y.10.某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽 8 米.一木船宽 4 米
7、，高 2 米，载货的木船露在水面上的部分为 0.75 米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？【解题指南】先建立平面直角坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与 y 轴重合，问题转化为求出 x=2 时的 y 值.- 4 -【解析】以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为 y 轴建立直角坐标系(如图).设抛物线的方程是 x2=-2py(p0)，由题意知(4，-5)在抛物线上，故：16=-2p(-5)p=，8 5则抛物线的方程是 x2=-y(-4x4)，16 5设水面上涨，木船两侧面与抛物线形拱桥接触于 B，B时，木船开始不能通航.设 B(2，y)，所以 22=-yy=-，即水
8、面与拱顶相距为 0.75+=2(米)，16 55 45 4故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距 2 米时，木船开始不能通航.(20(20 分钟分钟 4040 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分，共分，共 1010 分分) )1.(2015武汉高二检测)若点 P 到点 F(0，2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2，则点 P 的轨迹方程为 ( )A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y【解析】选 C.由题意知点 P 到点 F(0，2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2，因此点 P 到点 F(0，2)的距离与到直线 y+2=0 的距离相等
9、，故点 P 的轨迹是以 F 为焦点，y=-2 为准线的抛物线，其方程为 x2=8y.2.已知点 A(2，0)，抛物线 C：x2=4y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|= ( )- 5 -A.2B.12C.1D.1355【解题指南】利用射线 FA 的斜率和抛物线的定义求解.【解析】选 C.射线 FA 的方程为 x+2y-2=0(x0).由条件知 tan=，所以 sin=，1 25 5由抛物线的定义知|MF|=|MG|，所以=sin=.故选 C.|5 51 5二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分，共分，共 1010 分分) )
10、3.边长为 1 的等边三角形 AOB,O 为原点,ABx 轴,以 O 为顶点,且过 A,B 的抛物线方程是_.【解析】根据题意可知抛物线以 x 轴为对称轴,当开口向右时,A(, ),设抛物线方程为 y2=2px,则有3 21 2=2p,所以 p=.1 43 21 4 3抛物线方程为 y2=x,同理可得,当开口向左时,抛物线方程为 y2=-x.3 63 6答案:y2=x3 64.(2015上饶高二检测)已知 P 是抛物线 y2=4x 上一动点,则点 P 到直线l:2x-y+3=0 和 y 轴的距离之和的最小值是_.【解析】由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0).设点 P 到直线l的距离为 d,由
11、抛物线的定义可知,点 P 到 y轴的距离为|PF|-1,所以点 P 到直线l的距离与到 y 轴的距离之和为 d+|PF|-1.易知 d+|PF|的最小值为点F 到直线l的距离,故 d+|PF|的最小值为=,所以d+|PF|-1 的最小值为-1.|2 + 3|22+ ( 1)255- 6 -答案:-15三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分，共分，共 2020 分分) )5.(2015温州高二检测)已知点 A(0，4)和抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F，若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，求 B 到该抛物线准线的距离.【解析】依题意可知 F 的坐标为(，0)，p 2所以 B
12、 的坐标为(，2)代入抛物线方程得 p=2，p 42所以抛物线准线方程为 x=-，2所以点 B 到抛物线准线的距离为+=.2 223 226.抛物线 y2=2px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为 y=2x，斜边长为 5，求此抛物线方程.13【解析】设抛物线 y2=2px(p0)的内接直角三角形为AOB，直角边 OA 所在直线方程为 y=2x，另一直角边所在直线方程为 y=-x.1 2解方程组可得点 A 的坐标为(，p)；y = 2, 2= 2,?p 2解方程组可得点 B 的坐标为(8p，-4p).y =1 2, 2= 2,?因为|OA|2+|OB|2=|AB|2，且|AB|=5，13所以(+p2)+(64p2+16p2)=325.p2 4所以 p=2，所以所求的抛物线方程为 y2=4x.
