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1、12.2.12.2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程1了解椭圆标准方程的推导2理解椭圆的定义及椭圆的标准方程(重点)3掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程(重点、难点)基础初探教材整理 1 椭圆的定义阅读教材 P39前 4 自然段，完成下列问题平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_的点的轨迹(或集合)叫做椭圆这_叫做椭圆的焦点，_叫做椭圆的焦距【答案】 常数(大于|F1F2|) 两个定点 两焦点的距离判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆( )(2)在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于F1F2”的常数，其它条件不变，点的轨
2、迹为线段( )(3)到两定点F1(2,0)和F2(2,0)的距离之和为 3 的点M的轨迹为椭圆( )【答案】 (1) (2) (3)教材整理 2 椭圆的标准方程阅读教材 P39第 5 自然段P40“思考与讨论” ，完成下列问题.焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_1(ab0)y2 a2x2 b2焦点(c,0)与(c,0)_与_a，b，c的关系c2_【答案】 1(ab0) (0，c) (0，c) a2b2x2 a2y2 b22椭圆1 的焦点在_轴上，焦距为_，椭圆1 的焦点在x2 25y2 9x2 9y2 16_轴上，焦点坐标为_【解析】 由 259 可判断椭圆1 的焦点在x轴上，由c225916
3、，可得x2 25y2 9c4，故其焦距为 8.由 169，可判断椭圆1 的焦点在y轴上， c21697，x2 9y2 16故焦点坐标为(0，)和(0，)77【答案】 x 8 y (0，)和(0，)77质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(，2)和点B(2，1)33【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在x轴上，设
4、它的标准方程为1(ab0)x2 a2y2 b2a5，c4，b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为1.x2 25y2 9(2)由于椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(ab0)y2 a2x2 b23a2，b1.故所求椭圆的标准方程为x21.y2 4(3)法一 当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)x2 a2y2 b2依题意有Error!解得Error!故所求椭圆的标准方程为1.x2 15y2 5当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)y2 a2x2 b2依题意有Error!解得Error!因为ab0，所以无解所以所求椭圆的标准方程为1.x2 15y2 5法二 设所求椭
5、圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，依题意有Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为1.x2 15y2 51利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程2当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0)因为它包括焦点在x轴上(mn)或焦点在y轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算再练一题1已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A(0,2)和B，求椭(1 2， 3)圆的标准方程. 【导学号：15460025】【解】 设椭圆的方程为mx2n
6、y21(m0，n0，mn)，将A，B两点坐标代入方程得Error!4解得Error!所求椭圆方程为x21.y2 4椭圆的定义及其应用设P是椭圆1 上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若F1PF260，求x2 25y2 75 4F1PF2的面积【精彩点拨】 (1)由椭圆方程，你能写出|PF1|PF2|与|F1F2|的大小吗？(2)在F1PF2中，根据余弦定理可以得到|F1F2|、|PF1|、|PF2|之间的关系式吗？(3)怎样求F1PF2的面积？【自主解答】 由椭圆方程知，a225，b2，c2，c ，2c5.75 425 45 2在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF
7、2|cos 60，即 25|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|.由椭圆的定义得 10|PF1|PF2|，即 100|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|.得 3|PF1|PF2|75，所以|PF1|PF2|25，所以SF1PF2 |PF1|PF2|sin 60.1 225 341椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为 2a.2椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的PF1F2，称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理
8、等知识求解再练一题2在本例中，若把椭圆方程改为“1” ，把“F1PF260”改为x2 4y2 3“PF1F290” ，其余条件不变，试求PF1F2的面积【解】 由椭圆方程1，知a2，c1，由椭圆定义，得x2 4y2 35|PF1|PF2|2a4，且|F1F2|2，在PF1F2中，PF1F290.|PF2|2|PF1|2|F1F2|2.从而(4|PF1|)2|PF1|24，则|PF1| ，3 2因此SPF1F2 |F1F2|PF1| .1 23 2故所求PF1F2的面积为 .3 2探究共研型与椭圆有关的轨迹问题探究 1 如图 221，P为圆B：(x2)2y236 上一动点，点A的坐标为(2,0)
9、，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程图 221【提示】 用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a，b，c.所求点Q的轨迹方程为1.x2 9y2 5探究 2 如图 222，在圆x2y24 上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是什么？为什么？图 222【提示】 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点法求解用相关点法求轨迹方程的基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y
10、)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1)(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式Error!(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化6简即可所求点M的轨迹方程为y21.x2 4一个动圆与圆Q1：(x3)2y21 外切，与圆Q2：(x3)2y281 内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程【精彩点拨】 由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹【自主解答】 由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(3,0)，R11；Q2(3,0)，R29.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图由题设有|MQ1|1R，|MQ2|9R，所以|MQ1|MQ2|
11、10|Q1Q2|6.由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a5，c3.所以b2a2c225916，故动圆圆心的轨迹方程为1.x2 25y2 161求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为代入法2对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法3代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)0 上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐
12、标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)7再练一题3已知圆C：x2y24，过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设直线m与y轴的交点为N，若向量，则动点Q的轨迹方程为_. OQOMON【导学号：15460026】【解析】 设点M的坐标为(x0，y0)，点Q的坐标为(x，y)，点N的坐标为(0，y0)，(x，y)(x0,2y0)，即x0x，y0 ，又xy4，x24.由OQOMONy 22 02 0y2 4已知，直线m平行于x轴，得y0，Q点的轨迹方程是1(y0)y2 16x2 4【答案】 1(y0)y2
13、 16x2 4构建体系1若椭圆1 过点(2, )，则其焦距为( )x2 16y2 b23A2 B253C4 D453【解析】 将点(2, )代入椭圆方程求得b24，于是焦距 2c24.31643【答案】 D2已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )A.1 By21x2 4y2 3x2 4C.1 Dx21y2 4x2 3y2 4【解析】 c1，a ()2，1 2212021208b2a2c23.椭圆的方程为1.x2 4y2 3【答案】 A3已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为 8，焦距为 2，则15此椭圆的标准方程为_【解析】 由已知 2a8,2c2，15a4，c，15b2a2c216151.又椭圆的焦点在y轴上，椭圆的标准方程为x21.y2 16【答案】 x21y2 164若方程1 表示椭圆，则m满足的条件是_. x2 my2 2m1【导学号：15460027】【解析】 由方程1 表示椭圆，知Error!解得m 且m1.x2 my2 2m11 2【答案】 Error!5已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(4,3)若F1AF2A，求椭圆的标准方程【解】 设所求椭圆的标
