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1、13.33.3 幂函数幂函数教学建议教学建议 1.注意幂函数 y=x的图象随指数 取值的不同而变化的分布规律及图象特征、性质的区 别.幂函数的图象与其他函数相比,在理解和记忆上都感到比较困难,因为其形状和位置的变 化都很复杂,对幂函数的图象分布应该引导学生进行一番研究,细致体会发现其规律性东西 加以整理归纳记忆.幂函数 y=x的图象的变化有如下规律(如右图): 总体上,所有幂函数图象都过点(1,1);随着 由-逐渐变大到+,图象绕点(1,1)逆时针 旋转.设第一象限被直线 x=1,y=1,y=x 分为六个部分,依次记作、,则 当 (-,0)时,图象穿过、部分;当 (0,1)时,图象穿过、部分;
2、当 (1,+)时,图象穿过、部分;注意直线 y=1,y=x(x0)分别是幂函数 y=x在 =0,1 时的图象.图象如何绕点(1,1)旋转,观察上图就清楚了. 对不同的 图象穿过哪两个部分,只要根据幂函数图象的特点,画一条经过点(1,1)、 (2,2)的曲线就可以了.另外,根据幂函数图象的上述变化规律,对于任意的 R R,幂函数 y=x的图象就能大致定位了. 2.给定一组数值,比较大小的步骤. 第一步:区分正负.一是幂函数或指数函数值(幂式)确定符号;二是对数式确定符号,根据各 自的性质进行. 第二步:正数通常还要区分大于 1 还是小于 1. 第三步:同底的幂,用指数函数单调性;同指数的幂用幂函
3、数单调性;同底的对数用对数函数 单调性. 第四步:对于底数与指数均不相同的幂,或底数与真数均不相同的对数值大小的比较,通常是 找一中间值过渡或化同底(化同指)、或放缩、有时作商(或作差)、或指对互化,对数式有时 还用换底公式作变换等等. 3.(1)幂函数定义域的求法分以下 5 种情形:=0; 为正整数; 为负整数; 为 正分数; 为负分数. (2)作幂函数图象要联系定义域、值域、单调性、奇偶性,但一般只要作出在第一象限内的 图象,再据奇偶性就可作出完整图象. 备用习题备用习题21.幂函数 f(x)的图象过点(4,21),那么 f-1(8)的值是( )A.22 B.64 C.42D.641解析：
4、解析：设 f(x)=x,将(4,21)点代入,得21=4,于是 =,f(x)=x21.令 x21=8,得 x=8-2=641.故选 D.答案：答案：D 2.当 0(1-a)b B.(1+a)a(1+b)b C.(1-a)b(1-a)2bD.(1-a)a(1-b)b解析解析：由 0(1-a)b. 又1-a1-b0,(1-a)b(1-b)b. 由得(1-a)a(1-b)b. 选 D. 答案答案：D3.已知幂函数 f(x)存在反函数 f-1(x),且 f-1(33)=33,则 f(x)的表达式是( )A.f(x)=x3 B.f(x)=x-3 C.f(x)=x21D.f(x)=x21解析：解析：设所求
5、函数为 y=f(x)=x.又 f(x)存在反函数 f-1(x),且 f-1(33)=33,则由原函数与反函数的关系知 f(33)=33,即 y=f(x)经过点(33,33).代入 y=x中,得33=(33),即 323 =32,=-3.f(x)=x-3. 选 B. 答案：答案：B4.函数 y=(mx2+4x+2)21+(x2-mx+1)的定义域是全体实数,则 m 的取值范围是_.解析：解析：要使 y=(mx2+4x+2)21+(x2-mx+1)的定义域是全体实数,则需 mx2+4x+20 对一切实数3都成立,即 . 0, 0m所以 . 0244, 02mm 解得 m2.所以 m 的取值范围是 m2. 答案：答案：m2
