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1、13.2.23.2.2 平面的法向量与平面的向量表示平面的法向量与平面的向量表示1理解平面的法向量的概念， 会求平面的法向量(重点)2会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直(重点)3理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题(难点)基础初探教材整理 1 平面的法向量与向量表示阅读教材 P102P103“例 1” ，完成下列问题1平面的法向量已知平面，如果向量n n的基线与平面垂直，则向量n n叫做平面的法向量或说向量n n与平面正交2平面的向量表示设A是空间任一点，n n为空间内任一非零向量，适合条件n n0 的点M的集合构成AM的图形是过空间内一点A并且与n n垂直的平面这个式子称
2、为一个平面的向量表示式3两平面平行、垂直的判定设n n1，n n2分别是平面，的法向量，则(1)或与重合n n1n n2；(2)n n1n n2n n1n n20.1若直线l的方向向量a a(1,0,2)，平面的法向量为n n(2,0，4)，则( )Al BlCl Dl与斜交【解析】 n n(2,0，4)2(1,0,2)2a a，n na a，l.【答案】 B2若平面，的法向量分别为a a(2，1,0)，b b(1，2,0)，则与的位置关系是( )2A平行 B垂直C相交但不垂直 D无法确定【解析】 a ab b2200，a ab b，.【答案】 B教材整理 2 三垂线定理及其逆定理阅读教材 P
3、104第 5 行P105第 2 行内容，完成下列问题1正射影已知平面和一点A，过点A作的垂线l与相交于点A，则A就是点A在平面内的正射影，简称射影2三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射线垂直，则它也和这条斜线垂直3三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若a是平面的一条斜线，直线b垂直于a在内的射影，则ab.( )(2)若a是平面的斜线，平面内的直线b垂直于a在平面内的射影，则ab.( )(3)若a是平面的斜线，直线b，且b垂直于a在另一个平面内的射影，则ab.( )
4、(4)若a是平面的斜线，b，直线b垂直于a在平面内的射影，则ab.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_3解惑：_小组合作型利用平面法向量证明平行关系已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解【自主解答】 (1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,
5、2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)FC1DAAE设n n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n n1，n n1，DAAE即Error!得Error!令z12，则y11，所以n n1(0，1,2)因为n n1220，FC1所以n n1.FC1又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)(2,0,0)，设n n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量由n n2，n n2C1B1FC1，C1B1得Error!4得Error!令z22，得y21，所以n n2(0，1,2)，因为n n1n n2，所以平
6、面ADE平面B1C1F.用向量方法证明空间平行关系的方法线线平行设直线l1，l2的方向向量分别是a a，b b，则要证明l1l2，只需证明a ab b，即a akb b(kR R)线面平行(1)设直线l的方向向量是a a，平面的法向量是u u，则要证明l，只需证明a au u，即a au u0.(2)根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可(3)证明一条直线l与一个平面平行，只需证明l的方向向量能用平面内两个不共线向量线性表示即可面面平行(1)转化为相应的线线平行或线面平行(2)求出平面，的法向量u u，v v，证明u uv v即可说明.再练一题1在正方体ABC
7、DA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG平面HMN.【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 2，则E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)(0，1,1)，EF5(1,0,1)，EG(0,1，1)，HM(1,0，1)HN设m m(x1，y1，z1)，n n(x2，y2，z2)分别是平面EFG和HMN的法向量，由Error!得Error!令x11，得m m(1，1，1)由Error!得Error!令x21，得n n(1，1，1)于是有m mn n，即m mn n，
8、故平面EFG平面HMN.利用向量证明线面垂直如图 3214 所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE平面A1D1F.图 3214【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A1D1F的法向量，然后证明与法向量共线AE【自主解答】 如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则A(1,0,0)，E，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F，(1，1，1 2)(0，1 2，0)，AE(0，1，1 2)(1,0,0)，.A1D1D1F(0，1 2，1)设平面A1D1F的法向量n n(x，y，z)，6则n n0，n n0，A1D1
9、D1F即Error!解得x0，y2z.令z1，则n n(0,2,1)又，n n2.AE(0，1，1 2)AEn n，即AE平面A1D1F.AE1坐标法证明线面垂直有两种思路方法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为 0.方法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行2使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决再练一题2如图 3215，长方体ABC
10、DA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为DD1的中点，求证：直线PB1平面PAC.图 3215【证明】 依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0,1,0)，B1(1,1,2)，7于是(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)，CACPPB1(1,1,0)(1,1,1)0，CAPB1(1,0,1)(1,1,1)0，CPPB1故，即PB1CP，PB1CA，CPPB1CAPB1又CPCAC，且CP平面PAC，CA平面PAC.故直线PB1平面PAC.三垂线定理及其逆定理的应用在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C
11、平面BDC1.图 3216【自主解答】 在正方体中，AA1平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD内的射影，又ACBD，所以BDA1C.同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影所以C1DA1C.又C1DBDD，所以A1C平面BDC1.1三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题对于同一平面内的8两直线垂直问题也可用“平移法” ，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明2当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维过程是“一定二找三证” ，即“一定”是定平面和平面内的直线， “二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影，“三证”是证直线垂直于射影或斜线再练一题3正
12、三棱锥PABC中，求证：BCPA.【证明】 如图，在正三棱锥PABC中，P在底面ABC内的射影O为正三角形ABC的中心，连接AO，则AO是PA在底面ABC内的射影，且BCAO，所以BCPA.探究共研型利用向量证明面面垂直探究 1 如何用向量法判定两个平面垂直？【提示】 只需求出两个平面的法向量，再看它们的法向量的数量积是否为 0 即可探究 2 在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF平面ABC.【提示】 建系如图，取A(0,0，a)，则易得B(0,0,0)，C，D(0，a,0)，E(32a，32a，0)3，F.(34a
13、，34a，a2)(0，32a，a2)BCD90，CDBC.又AB平面BCD，ABCD.又ABBCB，CD平面9ABC，为平面ABC的一个法向量CD(32a，32a，0)设平面BEF的法向量n n(x，y，z)，由n n0，EF即(x，y，z)0，有xy.(34a，34a，0)由n n0，即(x，y，z)0，BF(0，32a，a2)有ayz0zy.32a 23取y1，得n n(1,1，)3n n(1,1，)0，CD3(32a，32a，0)n n，CD平面BEF平面ABC.如图 3217 所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，E为BB1的中点，证明：平面AEC1平面
14、AA1C1C.图 3217【精彩点拨】 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n n1 1，n n2 2，证明n n1 1n n2 20.【自主解答】 由题意得AB，BC，B1B两两垂直以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，(0，0，1 2)则(0,0,1)，(2,2,0)，(2,2,1)，.AA1ACAC1AE(2，0，1 2)设平面AA1C1C的一个法向量为n n1 1(x1，y1，z1)10则Error!Error!令x
