《高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.5距离学业分层测评新人教b版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.5距离学业分层测评新人教b版选修2-1（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.2.53.2.5 距离距离(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1已知平面的一个法向量n n(2，2,1)，点A(1,3,0)在平面内，则点P(2,1,4)到平面的距离为( )A10 B3 C D8 310 3【解析】 由题意可知(1,2，4)设点P到的距离为h，PA则h.|PAn n|n n|10 3【答案】 D2在ABC中，AB15，BCA120，若ABC所在平面外一点P到A，B，C的距离都是 14，则P到的距离是( )A13 B11 C9 D7【解析】 作PO于点O，连接OA，OB，OC，PAPBPC，OAOBOC，O是ABC的外心OA5，AB 2sin BCA15 2sin
2、1203PO11 即为所求PA2OA2【答案】 B3在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是( )A. B 6a63a6C D3a46a3【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，M，B(a，a,0)，(a，0，a 2)A1(a,0，a)，2，DM(a，0，a 2)(a，a,0)，(a,0，a)DBDA1设平面MBD的法向量为n n(x，y，z)，则Error!令x1，则可得n n(1，1，2)da.|DA1n n|n n|a2a|666【答案】 A4若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为 1，AB1与底面ABCD成
3、 60角，则A1C1到底面ABCD的距离为( ) 【导学号：15460082】A. B1 33C D23【解析】 如图，A1C1平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与平面ABCD所成的角是 60，AB1，所以BB1，即点A1到平面3ABCD的距离为.3【答案】 D5已知二面角l为 60，动点P，Q分别在平面，内，P到的距离为，Q到的距离为 2，则P，Q两点之间距离的最小值为( )33A2 B2 C2 D433【解析】 作PM，QN，垂足分别为M，N.分别在平面，内作PEl，QFl，垂足分别为E，F，如图所示，连接ME，NF，则MEl，PEM为二
4、面角l的平面角，PEM60.在 RtPME中，|2，PE|PM|sin 603sin 60同理|4.QF又，PQPEEFFQ|24|21622220|2224cos PQEFPEEFPEFQEFFQEF12012|2.EF当|2取最小值 0 时，|2最小，EFPQ此时|2.PQ3【答案】 C二、填空题6如图 3242，已知在 60的二面角l中，A，B，ACl于C，BDl于D，并且AC1，BD2，AB5，则CD_.图 3242【解析】 ACl，BDl，l为 60的二面角， 60.CADB，ABACCDDB2222222，ABACCDDBACCDACDBCDDB5212242|cos ， ，CDA
5、CDBACDB4220212cos 12022，CD|.CD22【答案】 227在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则点D到平面PBC的距离是_【解析】 分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，(2,2，2)，(0,2,0)PCBC设n n(x，y，z)为平面PBC的法向量，则Error!即Error!取x1，则n n(1,0,1)又(2,1,0)，BD点D到平面PBC的距离为.|BDn n|n n|2
6、【答案】 28正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_【解析】 建立空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，B1(a，a，a)，E，F，如图所示(a，a，a 2)(0，a 2，0)设平面A1D1E的法向量为n n(x，y，z)，则n n0，n n0，A1D1A1E5即Error!ax0，ayz0，a 2Error!令z2，得n n(0,1,2)又，FD1(0，a 2，a)所求距离da.|FD1n n|n n|3 2a53 510【答案】 a3 510三、解答题9在四棱锥PAB
7、CD中，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDDA2，E，F分别为PC，AD的中点图 3243(1)证明：DE平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离【解】 (1)证明：以D为原点，建立如图所示的坐标系，则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)(1,0,2)，(1,2,0)，FPFB(0,1,1)DE.DE1 2FP1 2FB平面PFB.DE6又D平面PFB，DE平面PFB.(2)令平面PFB的法向量为n n(x，y，z)，则Error!Error!令x2，则Error!法向量n n(2，1,1)又(0,1，1)，PEd.|PEn n|n n|0 21
8、 11 1|663点E到平面PFB的距离为.6310已知正方形ABCD的边长为 1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离【解】 (1)建立以D为坐标原点， ， ，分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直DADCDP角坐标系，如图所示则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，(1，1 2，0)F，(1 2，1，0)EF(1 2，1 2，0)PE(1，1 2，1)，DE(1，1 2，0) 设平面PEF的法向量n n(x，y，z)，则Error!即Error!令x2，则y2，z3，所以n n(2,2,
9、3)，所以点D到平面PEF的距离为d，|DEn n|n n|21|4493 17 177因此，点D到平面PEF的距离为.3 17 17(2)因为，AE(0，1 2，0)所以点A到平面PEF的距离为d，|AEn n|n n|1171717所以AC到平面PEF的距离为.1717能力提升1正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M分的比为 ，N为BB1的中点，则|MN|为( )AC11 2A.a Ba 21666Ca Da156153【解析】 以D为原点， ， ，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则DADCDD1A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.又M分的比为 ，(a，a，a 2)
10、AC11 2M，(2 3a，a 3，a 3)|MN(a2 3a)2(aa 3)2(a 2a 3)2a.216【答案】 A2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离为( )A3 B 3C D331 3【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，8(1，2,1)，(2，1，1)，EFEG(0，1,0)，GA设n n(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，则 Error!Error!xyz，可取n n(1,1,1)，d，|GAn n|n n|1333即点A到
11、平面EFG的距离为.33【答案】 C3如图 3244，已知ABC是以B为直角的直角三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，则点A到平面SND的距离为_. 【导学号：15460083】图 3244【解析】 建立如图的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(4,1,0)，(0，2,2)，(4,1，2)设平面SND的法向量为n n(x，y,1)NSSDn n0，NSn n0，SDError!Error!n n.(0,0,2)(1 4，1，1)ASA到平面SND的距离为9.|n nAS|n n|23348 3333【答案】 8 33334如
12、图 3245，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD2，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，O为AD中点，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说32AQ QD明理由图 3245【解】 在PAD中，PAPD，O为AD中点，POAD.又侧面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面ABCD.建立如图所示空间直角坐标系，易得A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，(1,0,1)，(1,1,0)CPCD假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，设Q(0，y,0)(1y1)，32(1，y,0)CQ设平面PCD的法向量为n n(x0，y0，z0)，则Error!Error!即x0y0z0，取x01，则平面PCD的一个法向量为n n(1,1,1)点Q到平面PCD的距离为d，|CQn n|n n|1y|33210y 或y (舍去)此时| ，| .1 25 2AQ1 2QD3 2存在点Q满足题意，此时 .AQ QD1 3
