《高中数学第一章计数原理1.2.2第1课时组合及组合数公式学案新人教b版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章计数原理1.2.2第1课时组合及组合数公式学案新人教b版选修2-3（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 1 1 课时课时 组合及组合数公式组合及组合数公式1.理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系.(易混点)2.会推导组合数公式，并会应用公式进行计算.(重点)基础初探教材整理 1 组合与组合数的概念阅读教材 P15P16第二行，完成下列问题.1.组合的概念一般地，从n个不同元素中，任意取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.2.组合数的概念从n个不同元素中，任意取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号 C 表示.m n判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)两个组合相同的充要条件是其中
2、的元素完全相同.( )(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C .( )2 3(3)从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题.( )(4)从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名，有 3 种不同的选法.( )(5)现有 4 枚 2015 年抗战胜利 70 周年纪念币送给 10 人中的 4 人留念，有多少种送法是排列问题.( )【解析】 (1) 因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合.(2) 由组合数的定义可知正确.(3) 因为选出 2 名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题
3、.(4) 因为从甲、乙、丙 3 人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共 3 个组合，即有 32种不同选法.(5) 因为将 4 枚纪念币送与 4 人并无顺序，故该问题是组合问题.【答案】 (1) (2) (3) (4) (5)教材整理 2 组合数公式及性质阅读教材 P16P19部分，完成下列问题.组合数公式及其性质(1)公式：C .m nAm n Am mn！ m！nm！(2)性质：C C，C CC.m nnmnm nm1nmn1(3)规定：C 1.0n1.甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是_.【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价
4、相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为 C 3.2 33 2 2【答案】 32.C _，C_.2 61718【解析】 C 15，2 66 5 2CC18.17181 18【答案】 15 183.方程 CC的解为_.x142x414【解析】 由题意知Error!或Error!解得x4 或 6.【答案】 4 或 64.从 3,5,7,11 这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为_. 【解析】 从四个数中任取两个数的取法为 C 6.2 4【答案】 6质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 3疑问 3： 解惑： 小组合作型
5、组合的概念判断下列各事件是排列问题还是组合问题.(1)10 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10 支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从 10 个人里选 3 个代表去开会，有多少种选法？(4)从 10 个人里选出 3 个不同学科的课代表，有多少种选法？【精彩点拨】 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关.【自主解答】 (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别.(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别.(3)是组合问题
6、，因为 3 个代表之间没有顺序的区别.(4)是排列问题，因为 3 个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别.1.根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合.2.区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.再练一题1.从 5 个不同的元素a，b，c，d，e中取出 2 个，写出所有不同的组合.【解】 要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方
7、法将各个组合逐个标出来，如图所示：4由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.组合数公式的应用(1)式子可表示为( )nn1n2n100 100！A.A B.C100n100100n100C.101CD.101C100n100101n100(2)求值：CC.5nn9nn1【精彩点拨】 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明.【自主解答】 (1)分式的分母是 100！，分子是 101 个连续自然数的乘积，最大的为n100，最小的为n，故nn1n2n100 100！101nn1n2n100 101！101C.101n100【答案】 D(2)由组合数
8、定义知：Error!所以 4n5，又因为nN N，所以n4 或 5.当n4 时，CCC C 5；5nn9nn11 45 5当n5 时，CCC C 16.5nn9nn10 54 6关于组合数计算公式的选取1.涉及具体数字的可以直接用公式 C 计算.m nAm n Am mnn1n2nm1 m！2.涉及字母的可以用阶乘式 C 计算.m nn！ m！nm！3.计算时应注意利用组合数的性质 C C简化运算.m nnmn再练一题52.求等式中的n值.C 5n1C 3n3 C 3n319 5【解】 原方程可变形为1，CC，C 5n1 C 3n319 55n114 53n3即n1n2n3n4n5 5！，化简
9、整理，得n23n540.解此二次方程，得14 5n3n4n5 3！n9 或n6(不合题意，舍去)，所以n9 为所求.探究共研型组合的性质探究 1 试用两种方法求：从a，b，c，d，e 5 人中选出 3 人参加数学竞赛，2 人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？【提示】 法一：从 5 人中选出 3 人参加数学竞赛，剩余 2 人参加英语竞赛，共 C 3 510(种)选法.5 4 3 3 2 1法二：从 5 人中选出 2 人参加英语竞赛，剩余 3 人参加数学竞赛，共C 10(种)不同选法.2 55 4 2经求解发现 C C .推广到一般结论有 C C.3 52 5m nn
10、mn探究 2 从含有队长的 10 名排球队员中选出 6 人参加比赛，共有多少种选法？【提示】 共有 C210(种)选法.6 1010 9 8 7 6 5 6 5 4 3 2 1探究 3 在探究 2 中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究 2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？【提示】 若队长必须参加，共 C 126(种)选法.若队长不能参加，共 C 84(种)选5 96 9法.由探究 2、3 发现从 10 名队员中选出 6 人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：CC C .6 105 96 9一般地：CC C.mn1m nm1n(1)计
11、算 C C C C的值为( )3 43 53 632 016A.C B.C42 01752 017C.C1D.C142 01752 017(2)解方程 3C5A；x7x32x4(3)解不等式 C C .4n6n6【精彩点拨】 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式.【自主解答】 (1)C C C C3 43 53 632 016C C C C 2 016C4 43 43 534 4C C C14 53 532 016CC1C1.42 01632 01642 017【答案】 C(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为35，x3！ x7！4！x4！ x6！则，即为(x3)(x6)40.3x
12、3 4！5 x6x29x220，解得x11 或x2.经检验知x11 是原方程的根，x2 是原方程的增根.方程的根为x11.(3)由 C C ，得4n6nError!Error!Error!又nN N，该不等式的解集为6,7,8,9.1.性质“C C”的意义及作用m nnmn意义映的是组合数的对称性，即从n个不 同的元素中取m个元素的一个组合与 剩下的nm个元素的组合相对应作用当mn 2时，计算Cm n通常转化为计 算Cnmn2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由 C 中的mN N，nN N，且nm确定m，n的范围，因此求解后要m n验证
13、所得结果是否适合题意.再练一题3.(1)化简：C CC _；9m9m18m(2)已知 CC C ，求n的值.7n17n8n【解析】 (1)原式(C C )CCC0.9m8m9m19m19m17【答案】 0(2)根据题意，CC C ，7n17n8n变形可得 CC C ，7n18n7n由组合数的性质，可得CC，故 87n1，7n18n1解得n14.构建体系1.下列四个问题属于组合问题的是( )A.从 4 名志愿者中选出 2 人分别参加导游和翻译的工作B.从 0,1,2,3,4 这 5 个数字中选取 3 个不同的数字，组成一个三位数C.从全班同学中选出 3 名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式D.从全班同学中选出 3 名同学分别担任班长、副班长和学习委员【解析】 A、B、D 项均为排列问题，只有 C 项是组合问题.【答案】 C2.若 A 12C ，则n等于( )3n2nA.8 B.5 或 6C.3 或 4D.48【解析】 A n(n1)(n2)，C n(n1)，3n2n1 2所以n(n1)(n2)12n(n1).1 2由nN N，且n3，解得n8.【答案】 A3.C C 的值为_.5 86 8【解析】 C C C 84.5 86 86 99！ 6！ 3！9 8 7 3 2 1【答案】 844.6 个朋友聚会，每两人握手 1 次，一共握手_次. 【解析】 每两人握手
