《清华大学计算流体力学讲义第二章理论基础(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《清华大学计算流体力学讲义第二章理论基础(1)（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 有限差分法理论基础 有限差分方法是计算流体力学中应用最多的离散化数值方法； 作为计算技术它是历史最悠久，理论上相对成熟的数值方法。 $ 2.1 有限差分离散化方法 一个定解的流体动力学问题的数学描述；ouTtxuLtuxoxu| )(, 0),()()().(l解法: 理论（解析）解 差分数值解；方程的离散，求解域（时+空）的离散，代数方程的求解， 求解域的离散化差分分割。 分割尺寸（空间网格步长，时间步长） （网格）结（节）点， （网格）单元 （边界外）虚网格点网格沿拓。 微商（偏导数）的差商近似 1） 。差商近似；一阶，二阶导数的偏心差，中心差格式 一阶微商的定义； xyxuyxx
2、uLimxuxyx),(),(|00000),(00若取消取极限过程，用，代替就是一种差商近xyxuyxxu ),(),(0000 ),(00|yxxu 似。称为差分格式，2） 。差分格式的导出方法 a). Taylors 公式；)(! 2),(),(0020220000xxxnx xux xuxxuyxuyxxunnno T.E=Truncation Error.),(),(0000 ),(00ETxyxuyxxu xu yx采用差分格式中的记法； ., 1 ),(ETxuuxujiji ji其中 2 3322! 31 21)(,xxuxxuxoET由于 T.E.是 为一阶小量，故上述差商近
3、似（差分格式）称为一阶（精度）格式)( xo 类似地可得； (后差) )(, 1,xoxuuxujiji（中心差）)(22, 1, 1xoxuuxujiji；（二阶导数中心差；等网格步长）)(22 2, 1, 1 22 xoxuuuxujijiji 33xu3差分算子 定义以下差分算子；移位算子： （当移位为+1 时可省略）n jn jxuuE 11n jn jtn jtuuEuE算术平均算子： n jxxnjnjn jxuEEuuu)(21)(2121 2121 21)(2121 21xxxEE前差算子； n jxn jn jn jxuEuuu) 1(11xxE后差算子； n jxn jn
4、jn jxuEuuu)1 (1 1 11xxE一倍步长中心算子： n jxnjnjn jxuEuuu)(2121 2121 21xxxEE两倍变长中心差算子； n jxxn jn jn jxuEEuuu)(1 11 1xxxEE讨论： 定义的上述差分算子，可建立彼此间的转换关系，例；21 EE)(211EE.212EE所有的差分算子均可用 Taylor 展开来估算截断误差项(余项)的量阶例; )()(21221 21xouuuun jnjnjn jx ) 1 (o)(21 21xouuunjnjn jx )(ho*微分算子与差分算子的联系记微分算子: tDtxDx2 22xDx由 Taylor
5、 公式:n jtDn jtttn jtn jtn jtn jn jueuDtDttDuDtuDtutDuut )! 3! 21 (! 3! 233 2233 22 1 xnxxxxen x ! 3! 2132n jtDn jtueuEt或ttD teEttEtDln1 类似地或xxD xeExxExDln1 或以作为步长 hEhDln1由此，再根据差分算子之间的转换关系，可以建立微分算子与其他差分算子的联系例 1；xxnExDl1)432(1)1ln(1ln1432 Kxxx xxxxxxExD例 2；紧致格式的引入由微分算子与差分算子的关系有； )306(53 LhDL30653Dh) 1
6、(oQ)(ho)(55ho)(653 hoDh)(653 hoDh另一方面； )()1.61 (53 hoDhDh)(3hohD)(3hoDh )(11 )(1133hohoDh 2311)(11 hoho 523 11 61hohoDh 54261hohoDh 4 261hohD 由于算子最多都是只用到三个节点上的函数值，所以是仅用三点构造出了 4 阶. 精度格式，而一般地三节点格式的精度只有二阶。故称紧致格式作业 例 3；类似由可导出二阶偏导数的紧致格式为； Lh64 2 22 901 121D 4 22221211hohD 例 4；紧致格式应用；22xu tu tt tthohD1 4
7、22221211hohDx n j xxn jt tuhuh12111222n jn j xxxtn jtusuhhuE121.121122222 n jxn jx tusuE221211 n jn jn jusuEuE22 1121令n jn jn jn juuuuE1) 1(实际计算中分两步n jxn jn jusuu2212 n jn jn jn jxn jn juuuusuu12212)(上述例 4 实际上已经涉及微分方程的差分离散化了；或者说是直接采用差商逼近代入 相应的微分方程后直接得到离散化后的微分方程。 三，偏微分方程的差分离散化差分方程 1. 直接用差商逼近代入; 微分方程中
8、的所有各阶偏导数分别选择适当的差商逼近,并考虑逼近的截断误差精 度,从而将微分方程改写为代数的差分方程;同时得到整个差分方程对微分方程的逼 近的精度. 2. 由微分方程出发直接建立差分方程的几个方法,待定系学数离散化方法;a对于,若设是采用三节点格式,即采用 uLtu t tuutun jn j1而 L(u)(二阶偏导数以下)采用三节点格式,即采用 n ju1n jun ju1即令;n jn jon jn jn juuutuu11111 为了确定 ，可用 Tayloy 展开,并与对比,使相应的偏导数项的系数相1o1 uL等;若为二阶算子,则偏导数有 0 阶,一阶和二阶三项,可建立三个方程式,正
9、好确定 uL1三个系数，而三阶以上的偏导数项则归到误差项中；而如果有三阶（或更o.1 uL高阶的）导数，则三节点格式不够，应增加节点数，才能将待定系数确定。多项式拟合法b例方程oxuatu该方程具为特征性质，特征线为、在计算求解域中、catx斜率为ctx Da1D 点值 按特征关系应与 P 点的值相等1n ju（PD 为特征线，斜率为）a1但在差分计算中，求解域的离散形成的网格点 是 A、B、C 等P 点可能并不是网格点）点的值，也就是 P 点的值必须由 A、B、C 等各点的值来D 获得。 i)采用 A.B 两点线性拟合,得到 P 点（即 D 点的值）线性插值的值;taxxuuuuAB ADt
10、axAPtaPBtaxxuuuun jn jn jn j11记 上式为： xtacn jn jn jcuucu111或 (FTBS 格式)，当时迎.风oxuuatuun jn jn jn j 11 oa 仍然采用线性拟合,但采用 A.C 两点进行插值iitaxxuuuuAC AD2整理; n jn jn jn jn juucuuu11111 221或 oxuuatuuun jn jn jn jn j 22111111Lax 格式.线性拟合，采用 B.C 两点外插: (思考)iii抛物线拟合，用 A.B.C.三点的值进行二次曲线拟合：iv设：过 A、B、C 三点的值，为二次抛物线 A、B、C 三
11、CBAuuu 2 21xaxaaxPoj Jj+1j-1nn+1DPABC点的 x 坐标可以简单地给为， xx, 0,有 22 10022 10axxaauauaxxaauCBA2210222xuuuaxuuauaBCAACB 2222 2taxuuutaxuuuuBCAAC BD 整理得； n jn jn jn jn jn jn jn jn jn jn jn jn jn jn jn jn jn jn jCBAABn jn juuuxta xuuatuuuuucuucuuuuxta xtauuxtauuuuxta xtauuxtauu11221111121111112222221212121 Lax-Wendroff 格式其出发方程可认为： 222 .2xuta xuatu 分裂差分算子的离散化方法分裂差分算子的离散化方法c若微分方程中的微分算子若微分方程中的微分算子可作可作 “和和”分裂分裂, uL即即 .21uLuLuL 则微分方程则微分方程的差分方程可由的差分方程可由 uLtu ) 1 ()2(12uLtuuLtu依序离散构成依序离散构成.即分裂式即分裂式(2)应由应由(1)式得到的差分解式得到的差分解”续接续接”计算计算 (反之亦可反之亦可)例: 22xu xuatu 22xxaL “和“式分裂为
