《清华大学计算流体力学讲义第二章理论基础(2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《清华大学计算流体力学讲义第二章理论基础(2)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、七、差分数值解的耗散(Dissipation)和频散(Dispersion)性质 1、微分方程解的耗散或频散特性；考查方程： 的解的性质，（271）nnnnxuvxuatu 2设初值条件为： ikx keAxuoxu0,设解的一般形式为： （272）)(0,txik kkeAtxu其中 为复数，并且 k kkk若写成 其中为实数kkkki21kk21,则：)()()(0112,txikt ktxiktk kkkkeAeeAtxu将（27-2）式的解代入（271）方程，得：)(02)(0)( )0(txik k nnn ntxik ktxik kkkkkeAikveikAaeikA)(020)(
2、txik k nnn ntxik kkkkeAikveaikA即 2)()(nnn nkikvaik将 代入:kkki21 1112 122 22111)(mmmm mmm mkkkvikviaik）（）（ 1112 122 21211)(mmmm mmm mkkkvikvaikk）（）（12 221mmm mkkvk）（12 12 11) 1()( m m mm kkvakakkvkm m mm k ) 1(12 12 11iakttkvitikm m mm k ) 1(12 12 11 112 1212 2112 1212 2) 1()() 1(0) 1(10),(mm mmmm mmmm
3、 mmmmm mtkvtatxkiktkvkikattkviikxktkvkeeAeeeeAtxu）（273） 讨论几种特例；所有 即 行波方程i, 0nvoxuatu解为: )(0),(atxikkkeAtxu这表示分解的振幅将终是 ，所以解是无耗散的；不论 k 是多少， 波速均为oAh所以波形不发生任何变化，所以也是无频（色）散的解。, a，其余的偏导数项系数均为 0。方程为： ii02v222xuvxuatu 解为：)(02 2),(atxikktkv keeAtxu此解表示 仅当时解的振幅才是衰减的，即为（正）耗散解ov 2而 当 时 振幅随时间呈指数增长，解将是无界的，有时也称为负o
4、v 2耗散解。但不论 ，波速与波数 k 无关，波速恒为，所以是一种0, 022vorva无频散的解。，其余的偏导数项系数均为 0。方程为： 方iii03v333xuvxuatu DK 程（弧立波方程）解为：)(02 3),(tkvaxikkkeAtxu解是无耗散的，但不同的分立波（波数不同） ，传播速度不一样，其传播速度为即 时 k 越大，则波速越大，换言之，波数较大的子波会逐步赶上波;2 3kva ov 3数较小的子波，在满足一定的条件下，将形成孤立波。 类似地讨论iv).时 :ov 4)(04 4),(atxikktkv keeAtxu正耗散 负耗散（无界解）ov ov 44结论: （1）
5、偶阶导数项影响解的耗散，并且对于能被 4 的整除的偶阶项， 当其系数为负时，是 正耗散，为正时是负耗散（解趋于无穷） ；而其余的偶阶项（即不能被 4 整除的偶阶项，例 如 2 阶、6 阶、10 阶等）当系数为正时是正耗散，系数为负时是负耗散（解） ；（2）奇阶导数项只影响解的频散（色散）特性，不影响解的耗散特性； （3）方程（271）的解既有耗散，也有频散，其耗散及频散特性与这两个无穷级数的和有密 112 1212 2) 1() 1( mm mmmm mmkvkv以及切的关系。 2、解的耗散，频散特性的定量讨论方法。例 1；0 xuatu解为 )(0),(atxikkkeAtxu当时，解可以写
6、成：ttt)(0),(ttaxikkkeAttxu对于的每一个分量（即分立波） ；引入放大因子 G；G 是复数tika atxik kttaxik keeAeAG 000对于复数 G，可以考察，以及 G 的复角G ：GArg10GtkaArgGo的含义；是相邻时间间隔内解的振幅的改变；GtG 的含义是相邻时间间隔内解的相位差的改变。Argt例 2；222xuvxuatu 解为；)(02 2),(atxikktkv keeAtxu放大因子 tikatkv atxiktkv kttaxikttkv keeeeAeeA txuttxuG 22 22220)(02,当时 tkveG222 ov 212
7、 GtkaArgG 2由于只要求 G，所以并不一定需要将的仔细形式写出，而重点放在),(txu这两个瞬时的解表达式tt ,例 3；对于差分方程 例； 的格式，0 xuatu Lax 022111111 xuuauuun jn jn jn jn jD该差分格式的修正方程为（通式）：nnnnxuvxuatu 2回阅（273）式，其解为：ikxkn knikxkkikxikattkviktkv ktkvtatxkiktkv keAtnttetkfAeeeeAeeAtxummmmmmmmmmmmmmmm )(),(),(0) 1() 1(0) 1()() 1(01121212211212 122初值
8、ikxkkeAxunt 0 0)0 ,(0, 0若，解可写成： tntttnn11 ikxkn kikx nkkneAetkfAttxu 110),(),(注意此时 都是复数，其含义不仅仅是据幅了（与的含义不同！）1,n kn kAA0 kA从 的改变包含振幅和相位的改变：, tttnn1n kAikattkvitkveeemm mmmm mm 112 1212 2) 1() 1(因此，若固定空间位置，考虑时间间隔前后的解之比：t n kn k kikxn kikxn k n jn jAAGeAeAuutxuttxuG111,可以逐一讨论分量关系对于线性问题另一方面（273）式的解，当空间位置
9、变化时，即：当时 ，或时xxxn jn juu1相应的解的形式改变是： xxikn keA综合以上： 对于线性差分格式（274）式：kikxn kn jeAu11 kxxikn kn jeAu)( 1 kxxikn kn jeAu)( 1将此假设代入差分格式（274） ，并考虑对于线性差分格式，可以分别讨论每一个 Fourier 分量的关系，有： 02)( 211 xeAeAateAeAeAxxikn kxxikn kxxikn kxxikn kikxn k所有项均有并同除以,ikxen kA 02211 xikxikcxikxik n kn keeeeAA0sincos)(xkicxkGLa
10、xkxkicxkGLaxksincos)(有时习惯将写成，所以放大因子： xksincos)(icGLaxk显而易见，Lax 差分格式的解与源方程的解的特性存在差异。oxuaxu22222sin) 1(1sincosccGoLax)()(cossintgcarctgarctgArgGc Lax与相比 oGcxkctkaArgG0讨论：对于任意，要求则充分和必要的条件是：或 ,k, 1)(LaxkG12c1c就是 Lax 格式的稳定条件。1 c从另一角度看， 即使，保证了解差分数值解的有界， （稳定了！）但数值解与真解1c的差别，仍存在着耗散和频散这两个方面的误差。 可通过下列图示表示：八、差分
11、格式的守恒性质；如果对一个差分方程在定义域的任意有限空间内作求和运算， （即相当于在连续问题中 对微分方程在空间域中作积分运算）所得的表达式仍能满足该区域上物理量的守恒关系， 则称该差分格式具有守恒性，或守恒格式。例；对于连续方程； 0vtr 00)(SVGaussVsdvdVtdVv VdVtrrr0 SVsdvdVtrr有限体积域内的质量守恒律为简单起见，讨论一维问题；守恒型 0 xu t非守恒型0 xuxu t对守恒方程用 FTCS 格式； 02111 xuutn jn jn jn j若从 N 至 M 累加j 02111 xuutn jn jMNjn jn jMNj0)()(21)(111111MNjn jMNjn jMNjn jMNjn juuxt0)()()()()()(21)()(1 1111111 n Nn NMNjn jMNjn jn Mn MMNjn jMNjn juuuuuuxt02)()( 2)()(1)()(1111 n Nn Nn Mn MMNjn jMNjn juuuu xt02)()( 2)()()()(1111n Nn Nn Mn MMNjn jMNjn juuuuxxt可见，该格式在离散的概念下，所描
