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1、概率概率考点一：随机事件的概率考点一：随机事件的概率 1 1随机事件和确定事件随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件(2)在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C表示2 2频率与概率频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率nA n(2)对于给定的随机事件A，
2、如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率3 3互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若AB为不可能事件(AB)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生(2)对立事件：若AB为不可能事件，而AB为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生4 4概率的几个基本性质概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率：P(A)1.(3)不可能事件的概率：P(A)0.(4)互斥事件的概率加法
3、公式：P(AB)P(A)P(B)(A，B互斥)P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(A1，A2，An彼此互斥)(5)对立事件的概率：P( )1P(A)A例例 1 1、判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由从 40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从 110 各 10 张)中，任取一张(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9” 审题视点审题视点 可用集合的观点判断解 (1)是互斥事件，不是对立事件原因是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出红桃”与“抽出黑
4、桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件原因是：从 40 张扑克牌中，任意抽取 1 张“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，也不是对立事件原因是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为 10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时
5、发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系练习练习 1 1、一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过 3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于 4，则( )AA与B是互斥而非对立事件BA与B是对立事件CB与C是互斥而非对立事件DB与C是对立事件解析 根据互斥事件与对立事件的意义作答，AB出现点数 1 或 3，事件A，B不互斥更不对立；BC，BC，故事件B，C是对立事件
6、答案 D2 2、从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球，那么互斥而不对立的事件是( )A至少有一个红球与都是红球B至少有一个红球与都是白球C至少有一个红球与至少有一个白球D恰有一个红球与恰有二个红球解析 对于 A 中的两个事件不互斥，对于 B 中两个事件互斥且对立，对于 C 中两个事件不互斥，对于 D 中的两个互斥而不对立例例 2 2、甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”，他们约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A. B. C. D.1 361 95 361 6解析 若用1,2,3,
7、4,5,6代表 6 处景点，显然甲、乙两人选择结果为1,1、1,2、1,3、6,6，共 36 种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括1,1、2,2、3,3、6,6，共 6 个基本事件，所以所求的概率值为 .1 6考点二：古典概型考点二：古典概型1、基本概念：、基本概念： （1）古典概型的特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件 出现的可能性相等;（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=A包含的基本事件的个数 总的基本事件的个数（3）了解随机数的概念； （4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。 2、例题、例题 例例 3 3、从数字 1,2,3,4,5
8、中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于 40 的概 率为 ( B )A. B. C. D. 1 52 53 54 5 例例 4 4、袋中有 3 个白球和 2 个黑球,从中任意摸出 2 个球,则至少摸出 1 个黑球的概率为A. B. C. D. ( B )3 77 101 103 10 练习练习 3 3、从标有 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的 9 张纸片中任取 2 张,那么这 2 张纸片数字之积为偶 数的概率为 ( C )A. B. C. D. 1 27 1813 1811 18 4 4、某小组共有 10 名学生,其中女生 3 名,现选举 2 名代表,至少有 1 名女生当选的
9、概率为( B )A. B. C. D. 17 158 153 5 例例 5 5、下列对古典概型的说法中正确的个数是 ( C ) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个事件出现的可能性相等；基本事件的总数为 n,随机事件 A 包含 k 个基本事件,则； kP An每个基本事件出现的可能性相等；A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 练习练习 5 5、从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中互斥事件的个数是( C )至少有一个白球,都是白球； 至少有一个白球,至少有一个红球； 恰有一个白球,恰有 2 个白球； 至少有一个白球,都是红球.A.0 B.1 C.2 D.3
10、例例 6、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各 3 面,在每种颜色的 3 面旗帜上分别标上号码 1,2,3,现 任取 3 面,它们的颜色与号码均不相同的概率是 （ C ）A. B. C. D.1 31 91 141 27【解】 一一列举：红 1 黄 2 蓝 3红 1 黄 3 蓝 2红 2 黄 1 蓝 3红 2 黄 3 蓝 1红 3 黄 1 蓝 2红 3 黄 2 蓝 1所以有 6 种情况。而总数为 =84，所以概率为 6/84=1/143 9c练习练习 6、.3 粒种子种在甲坑内，每粒种子发芽的概率为 .若坑内至少有 1 粒种子发芽，则不12需要补种，若坑内的种子都没有发芽，则需要补种，则甲坑不需要补种
11、的概率为_【解】因为种子发芽的概率为 ，种子发芽与不发芽的可能性是均等的若甲坑中种子发芽12记为 1，不发芽记为 0，每粒种子发芽与否彼此互不影响，故其基本事件为(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)，共 8 种而都不发芽的情况只有 1 种，即(0,0,0)，所以需要补种的概率是 ，故甲坑不需要补种的概率是 1 .181878例例 7、抛掷两颗骰子，求：(1)点数之和是 4 的倍数的概率；(2)点数之和大于 5 小于 10 的概率【解】从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共 36 种(1)记“点数之和是
12、 4 的倍数”为事件 A，从图中可以看出，事件 A 包含的基本事件共有 9 个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)所以 P(A)= 1 4.(2)记“点数之和大于 5 小于 10”为事件 B，从图中可以看出，事件 B 包含的基本事件共有 20 个即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)所以 P(B)= 5 9.练习练习 7 7
13、、袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，写出所有的基本事件，并计算下列事件的概率：（1）三次颜色恰有两次同色； （2）三次颜色全相同；（3）三次抽取的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。【解】 （红红红） （红红白） （红白红） （白红红） （红白白） （白红白） （白白红） （白白白）（1）3 4（2）1 4（3）1 2例例 8 8、口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，试求“第二个人摸到白球”的概率。【解】把四人依次编号为甲、乙、丙、丁，把两白球编上序号 1、2，把两黑球也编上序号 1、2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出
14、一个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示 出来如下：考点三：几何概型考点三：几何概型1、基本概念、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 （面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式：P（A）=；积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个 基本事件出现的可能性相等 （4）了解均匀随机数的概念；黑 2白 1白 2白 2 黑 1 黑 1 黑 1白 2黑 1白 1白 1白 2 白 2白 1白 1黑 1甲乙丙
15、丁白 2白 1黑 1黑 2 黑 1 黑 2 黑 2黑 2黑 1黑 1白 1白 1 白 1白 1黑 1黑 2甲乙丙丁黑 1白 1白 2黑 2 白 2 黑 2 黑 2黑 2白 2白 1白 1白 2 白 2白 1白 1黑 2甲乙丙丁白 1白 2黑 1黑 2 黑 1 黑 2 黑 2黑 2黑 1黑 1白 2白 2 白 2白 2黑 1黑 2甲乙丙丁（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题 2、例题：、例题：例例 9、点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点 B，则劣弧的长度小于 1 的概率为_解析：设事件 M 为“劣弧的长度小于 1”，则
