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1、初中数学辅导网 http:/京翰教育 1 对 1 家教 http:/ 把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。本文举例谈 谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。一、平移一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把 梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。例例 1如图 1，梯形 ABCD 的上底 AB=3，下底 CD=8，腰 AD=4，求另一腰 BC 的取值范围。2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两 腰的平行线，把两腰转化到同一个三
2、角形中。腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。例例 2如图 2，在梯形 ABCD 中， AD/BC，BC=90，AD=1，BC=3，E、F 分别是 AD、BC 的中点，连接 EF，求 EF 的长。3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线， 将已知条件转化到一个三角形中。将已知条件转化到一个三角形中。例例 3如图 3，在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：ACBD。25【变式 1】（平移对角线）已知梯形 ABCD 的面积是 32，两底与高的和为 16，如果其中一条对角线与两底垂 直，则另一条对角线长为_例
3、例 4如图 4，在梯形 ABCD 中， AD/BC，AC=15cm，BD=20cm，高 DH=12cm，求梯形 ABCD 的面积。二、延长二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例例 5如图 5，在梯形 ABCD 中， AD/BC，B=50，C=80，AD=2，BC=5，求 CD 的长。【变式 2】如图所示，四边形 ABCD 中，AD 不平行于 BC，ACBD，ADBC. 判断四边形 ABCD 的形状，并 证明你的结论. A AB BC CD D【变式 3】（延长两腰）如图，在梯形中，、为、的 中点。三、作对角线三、作对角线即通过作对角线
4、，使梯形转化为三角形。即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例例 6如图 6，在直角梯形 ABCD 中， AD/BC，ABAD，BC=CD，BECD 于点 E，求证： AD=DE。四、作梯形的高四、作梯形的高1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线， 把梯形转化为直角三角形或矩形。把梯形转化为直角三角形或矩形。例例 7如图 7，在直角梯形 ABCD 中， AB/DC，ABC=90，AB=2DC，对角线 ACBD，垂 足为 F，过点 F 作 EF/AB，交 AD 于点 E，求证：四边形 ABFE 是等腰梯形。初中数学辅导网 http:/京翰教
5、育 1 对 1 家教 http:/ 72、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的 垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。例例 8如图 8，在梯形 ABCD 中，AD 为上底， ABCD，求证：BDAC。【变式 4】如图 2-44 所示ABCD 是梯形， ADBC， ADBC，AB=AC 且 ABAC，BD=BC，AC，BD 交于 O.求BCD 的度数【变式 5】 如图 2-45 所示直角梯形 ABCD 中， ADBC，A=90，ADC=135，CD 的垂直平分 线交 BC 于 N，交 AB 延
6、长线于 F，垂足为 M求证： AD=BF【变式 6】例例如图 2-46 所示直角梯形 ABCD 中， C=90，ADBC，AD+BC=AB，E 是 CD 的中 点若 AD=2，BC=8，求ABE 的面积【变式 7】（过顶点作高）已知 AB=BC，ABCD，D=90，AEBC求证：CD=CE五、作中位线五、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。例例 9如图 9，在梯形 ABCD 中，AB/DC，O 是 BC 的中点，AOD=90，求证：ABCD=AD。2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一 条对角
7、线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形 中位线。中位线。例例 10如图 10，在梯形 ABCD 中，AD/BC，E、F 分别是 BD、AC 的中点，求证：（1）EF/AD；（2）)ADBC(21EF【变式 8】 如图所示等腰梯形 ABCD 中， ABCD，对角线 AC，BD 所成的角AOB=60， P，Q，R 分别是 OA，BC，OD 的中点求证： PQR 是等边三角形【变式 9】（过一腰中点作底边平行线构造中位 线）已知梯形 ABCD 中，ADBC，ABC 的平分线过 CD 的中点 E3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全、
8、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。等的三角形达到解题的目的。例 10、在梯形 ABCD 中，ADBC， BAD=900，E 是 DC 上的中点，连接 AE 和 BE，求 AEB=2CBE。【变式 10】如图，E 是梯形 ABCD 中腰 DC 上的中点，初中数学辅导网 http:/京翰教育 1 对 1 家教 http:/ 为三角形、平行 四边形A AB BC CD DE E作高，转化为两 直角三角形和一 矩形A AB BC CD DE EF F延长两腰，转化 为三角形A AB BC CD DE E平移一对角线， 转化为三角形、 平行四边形A AB BC CD
9、 DE E连接一顶点与一 腰的中点，构造 全等三角形A AB BC CD DE E F F【模拟试题模拟试题】（答题时间：40 分钟）1. 若等腰梯形的锐角是 60，它的两底分别为 11cm，35cm，则它的腰长为_cm. 2. 如图所示，已知等腰梯形 ABCD 中，ADBC，B60，AD2，BC8，则此等腰梯形 的周长为（ ）A. 19B. 20C. 21 D. 22A AB BC CD D*3. 如图所示，ABCD，AEDC，AE12，BD20，AC15，则梯 形 ABCD 的面积为（ ）A. 130B. 140C. 150D. 160A AB BC CD DE E*4. 如图所示，在等腰
10、梯形 ABCD 中，已知 ADBC， 对角线 AC 与 BD 互相垂直，且 AD30，BC70，求 BD 的长. A AB BC CD D5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于 60，它的两 底分别为 15cm 和 49cm，求它的腰长. A AB BC CD D6. 如图所示，已知等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC 于 E，求 DE 的长. A AB BC CD DE E7. 如图所示，梯形 ABCD 中，ABCD，D2B，ADDC8，求 AB 的长. A AB BC CD D*8. 如图所示，梯形 ABCD 中，ADBC，（1）若 E 是 AB 的中点，且
11、ADBCCD，则 DE 与 CE 有何位置 关系？（2）E 是ADC 与BCD 的角平分线的交点，则 DE 与 CE 有何位置关系？A AB BC CD DE E类型二：不添加辅助线（多数与全等、面积、梯形类型二：不添加辅助线（多数与全等、面积、梯形 中位线有关系）中位线有关系）1、已知：如图，四边形 ABCD 为矩形，四边形初中数学辅导网 http:/京翰教育 1 对 1 家教 http:/ 为等腰梯形，。求证求证：举一反三：举一反三：【变式 1】如图，已知：在梯形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O. 求证求证：. 说明说明 本题中，我们也可以用和的面积相等，推出和的面积相等，等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关键作用.【变式 2】如图，已知：AD是的平分线，. （1）求证：四边形ADCE是等腰梯形. （2）若的周长为，求四边形ADCE的周长. 说明：说明：等腰梯形的判定，一般是先判定一个四边 形是梯形，然后再由“两腰相等”或“同一底上的两个角 相等”来判定它是等腰梯形，要判定一个四边形是梯形时， 判定一组对边不平行常常有困难，所以可用判定平行的两 边不相等的方法来解决【变式 3】如图 2-43 所示在直角三角形 ABC 中， E 是斜边 AB 上的中点，D 是 AC 的中点，DFEC 交 BC 延长线于 F求证：四边形 EBFD 是等腰梯形
