高等数学过关与提高上册第二章习题答案

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1、 1高等数学过关与提高上册第二章习题答案高等数学过关与提高上册第二章习题答案 一、填空题一、填空题 1 解：原式=1)21(2)21()3()21()3()3(lim/0=fhfhfh2 解：原式xxfxxf xxfxxfx)()()()2(1lim 00000= 1)(1 )() 1()(210/ 0/ 0/=xfxfxf3 解：由题意可知曲线的切线斜率与直线斜率乘积为1，即曲线的切线斜率为 1，也就是 11)(ln00/0/=xxxxxxxxy， 则10=x， 曲 线 上 对 应 的 纵 坐 标 为01lnln00=xy，那么切线方程即为1= xy。 4 解： 由题意知 =+=) 1()

2、1(010/gfcba，即 =+=2201bcba，故 =111cba5 解： 过),(00yx的抛物线的切线方程为)(2(000xXbaxyY+=，该切线过原点（0，0） ，故 )(2(000xbaxy+=， 又),(00yx是抛物线上的点，故 cbxaxy+=02 00 代入得02 002 02bxaxcbxax+=+，即cax=2 0。因所给曲线是抛物线，故0a，从而acx=2 0，故bac, 0任意。 6解： 曲线在点（1，1）的切线方程为) 1(1=XnY，其与 X 轴的交点为)0 ,(n，故 ) 1(1=nn，即nn11=，从而n nnf)11 ()(=。 所以enfnnnn1)1

3、1 (lim)(lim= 。 7解： 设曲线与 X 轴的切点为)0 ,(0x，那么切线斜率为 0，故22 022 0, 033axax=，又)0 ,(0x在曲线上，即 203023 0=+bxax， 0222 02 02 03 0022)3()3(3xaaaxxaxxxab= 对022xab =两边平方，再代入22 0ax=得624ab=。 8解： )1ln(ln21arctan22+=xxxeeey )1ln(21221arctan2+=xxexe )1ln(21arctan2+=xxexe 11 11 12 21112222222/ +=+=+=xxxxxxxxxxee eeee ee e

4、ey 故1121/ += =eey x。 9解：)23(3()4()2323arctan()2323()2323(22/ +=+=xxx xx xxfdxdy所以43 4341121arctan0=xdxdy10解： 等式两边关于 x 求导，得 0)(sin()1 (=+ dxdyxyxydxdyeyx整理得 xyxeexyy dxdyyxyxsinsin =+11解： 方程两边取微分， )ln(lnlnyydededydxyyyyy= )1(ln)ln(lnlndyyyydyyyydydyeyyy+=+= dyyxdyyyy) 1(ln) 1(ln+=+= 所以) 1(ln+=yxdxdy

5、12解： 由txtxt ttxxtxxtetxtttxtxttf22 20 )21 (lim)(lim)(=+=+=，又0)(0=tft时，综上可得ttetf2)(=。故tettf2/)21 ()(+=。 313解：tt dtdxdtdy dxdy 2sin /= tdtttddtdxdtdxdyd dxdxdyd dxyd 2/ )2sin(/ )/()/(22= 324cossin 2sincos 21tttt ttttt = = 14解：对方程两端关于 x 求两次导数，分别有 0266/=+xxyyyey02666/2/=+xyyyyeyeyy将0=x代入原方程可得0=y， 将0=x，0

6、=y代入上述第一式得0)0(/=y， 再将0=x，0=y，0)0(/=y代入第二式有2)0(/=y。 15由已知等式可知0)0(=f，而0x时，)(1,211cos)(2xfexxxf，故 1)0()(lim21 )(21lim11coslim 020)(0= = xfxfx xfxexxxxfx， 故0)0()(lim 0=xfxfx，即0)0(/=f。 二、选择题二、选择题 1解：选择（C） 。 0)0(/f，即0)0()(lim 0xfxfx，由极限保号性定理， 0)0()(), 0(, 00xfxfUx时当， 故当0 fxf，即)0()(fxf。 故选（C） 。 2解：选择（B） 。

7、xdxdxxfdy=21 21)(0/，显然0x时，dy 是x的同阶无穷小，故选（B） 。 3 解：选择（A） 。 32/2/)( 2)()(2)()(2)()(xfxfxfxfxfxfxf= 4422/2/3/)( ! 3)()( ! 3)()( 32)( 2)(xfxfxfxfxfxfxf= 依次类推有1)( !)(+=nnxfnxf，故选（A） 。 4 解：选择（D） 。 )(xfy =在5=x处导数即为曲线在)5(, 5(f处切线斜率。 ) 1 () 1 () 1(lim)5()5(lim5)5()(lim)5(/0055/ftftf tftf xfxff ttxtx=+=+= =，

8、又12)1 () 1 (lim 0=xxffx，即2) 1 () 1 ()1 (lim/0=fxfxfx，从而2)5(/=f，故选（D） 。 5 解：选择（B） 。 用排除法。设0)0(, 0)0(,)(/3=ffxxf则，但3)(xxf=在0=x可导，故可排除（A） 。设xxf=)(，则其在 x=1 处满足选项（C）的条件，但显然xxf=)(在 x=1处可导，故排除（C） 。设xxf=)(，取 x=a=1，同理可排除（D） 。故选（B） 。 6 解：选择（B） 。 )2)(1(6)23(612186)(22/=+=+=xxxxxxxf )32(6)(/=xxf x=1 与 x=2 为)(xf

9、的两个驻点，且06)2(, 06) 1 (/=ff，可知 x=1 处)(xf取得极大值 5-a，x=2 处)(xf取得极小值 4-a，故 a=4 或 a=5 时)(xf恰有两个零点。故选（B） 。 7解：选择（C） 。 显然由题意0)0(=f，则 1)0()0()(lim)0()(lim)(lim/ 2202220220=+fhfhf hfhf hhfhhh故选（C） 。 8解：选择（C） 。 ) 1 () 1 (/) 1 (1/gehg=+，代入已知条件得) 1 (121ge+=，故12ln) 1 (=g，故选（C） 。 三、计算与证明三、计算与证明 1解：对方程两边求微分 )ln()()2

10、(yxyxdxyd= 即 )(ln()ln()(2dydxyxyxdyxdxdy+= 5)(ln()(dydxyxdydxyxyx+= dxyxdxdyyxdy)ln(2)ln(3+=+ 故 dxyxyxdy)ln(3)ln(2 += 2解：)1 (/yfy+=，整理得/ / 1ffy= /2/)1 (yfyfy+= 3/2 /2/ / )1 (1)11(1)1 ( ff ffffyfy=+= 3解： 直接求导 )(cos)(22)()(cos22/2/2/xfxxfxxfxfy= )(cos)(22)(cos)(22)()(sin)(222/22/2/22/xfxfxxfxxfxxfxfxxfy+=)()(cos2)2()()(cos)2()()(sin2/222/2222/2xfxfxxfxfxxfxf+= 4解： 0x时，422432/ 121arctan112 1arctan)(xx x xxxxxf+= + += 21arctan lim)0()(lim)0(200/= xxxxfxff xx而 )0(212lim1arctanlim)121(arctanlim)(lim/ 420204220/0fxx xxx xxf xxxx=+=+= 故)(/xf在0=x处连续。