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1、ABCDEF（第 16 题）G B O15.15. 【解】 （1）因为m m/n n,所以. 2 分3sin(sin3cos)02AAA所以，即， 3 分31cos23sin20222AA31sin2cos2122AA即 . 4 分sin 216A因为 , , 所以. 5 分(0,)A112666A ，故，. 7 分262A 3A （2）由余弦定理，得 . 8 分224bcbc又， 9 分31sin24ABCSbcAbc而， （当且仅当时等号成立） 11 分222424bcbcbcbcbcbc所以. 12 分331sin43244ABCSbcAbc当ABC的面积取最大值时，.又，故此时ABC为
2、等边三角形. 14 分bc 3A 16.【证明】 （1）设，连结.ACBDGIGF因为面,面，所以.BF ACECE ACEBFCE因为,所以为的中点. 3 分BEBCFEC在矩形中，为中点，ABCDGAC所以. 5 分/GFAE因为面,面，所以面. AE BFDGF BFD/AEBFD7 分（2）取中点，连结.因为,所以. ABOOEAEEBOEAB因为面,面,所以, AD ABEOE ABEOEAD所以面. 9 分OE ADC因为面,面，所以.BF ACEAE ACEBFAE因为面,面,所以. CB ABEAE ABEAEBC又，所以平面. 11 分BFBCBIAE BCE又面,所以.所以
3、,.12 分BE BCEAEEB222 2ABAEBE122OEAB故三棱锥的体积.14 分EADC111422 223323D AECEADCADCVVSOE 1717 .【解】记A与a比赛为（A，a） ，其它同理（l） （方法 1）齐王与田忌赛马，有如下 6 种情况：（A，a）,（B，b）,（C，c） ；（A，a）,（B，c）,（C，b） ；（A，b）,（B，c）,（C，a） ；（A，b）,（B，a）,（C，c） ；（A，c）,（B，a）,（C，b） ；（A，c） ， （B，b） ， （C，a）. 2 分其中田忌获胜的只有一种：（A，c）,（B，a）,（C，b）. 4 分故田忌获胜的概率为
4、. 7 分1 6P （方法 2）齐王与田忌赛马对局有 6 种可能：A B C a b c a c b b a c b c a c a b c b a 2 分 其中田忌获胜的只有一种：（A，c）,（B，a）,（C，b）. 4 分若齐王出马顺序还有ACB , BAC , BCA，CAB，CBA等五种；每种田忌有一种可以获胜故田忌获胜的概率为7 分 61 666P （2）已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c9 分后两场有两种情形：若齐王第二场派出中等马B，可能的对阵为：（B，a）,（C
5、，b）或（B，b）,（C，a） 田忌获胜的概率为. 11 分1 2若齐王第二场派出下等马C，可能的对阵为：（C，a）,（B，b）或（C，b）,（B，a） 田忌获胜的概率也为 13 分1 2田忌按c , a , b或c , b , a的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大14 分1 2答：（l）田忌获胜的概率1 6（2）田忌按c , a , b或c , b , a的顺序出马，才能使获胜的概率达到最大为15 分1 218.18. 【解】 （1）, 313330kxkyk 33330xykxy解得.3 分330,330,xyxy3 0F，设椭圆C的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a，2b，2c，则由
6、题设，知 于是a=2，b2=1. 5 分323.cac，.所以椭圆C的方程为 6 分221.4xy（2）因为圆O：与椭圆C有 4 个相异公共点，222(0)xyrr所以，即 8 分bra12.r因为点（m，n）是椭圆上的点，所以.2214xy221224mnm ，且- 所以. 10 分222311 24mnm =，于是圆心O到直线l1的距离，12 分12211drmn圆心O到直线l2的距离. 14 分22242drmn故直线l1与圆O相交，直线l2与圆O相离. 15 分19.19. 【证明】 （1）由题设知a10，q0 1 分(i)当q=1 时，Sn=na1，于是 SnSn+2=na1(n+2
7、)a1(n+1)2=0， 15 分22(4 (2)(2)2)15nSq qq所以Tnq2S 16 分方法二：Tn=， 11 分3113442442()15551555kkknnknn kknbqa qa qaqSSS由， 13 分2442 1555nnTqq Sq因为，所以（当且仅当，即时取“=”号） ，0q 444482315515 515qq44 155qq3q 因为，所以，即Tnq2S. 16 分68 382311551521nnT q S2020 【解】 （1）由已知得x0 且2( )2( 1)kafxxx 当k是奇数时，则f(x)在(0,+)上是增函数; 3 分( )0fx当k是偶数
8、时，则. 5 分2()()2( )2xaxaafxxxx所以当x时，当x时，. 0, a( )0fx, a ( )0fx故当k是偶数时，f (x)在上是减函数，在上是增函数7 分0, a, a （2）若，则.2010k 2*( )2 ln ()f xxax kN记g (x) = f (x) 2ax = x 2 2 a xlnx 2ax, ,222( )22()ag xxaxaxaxx若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0 有唯一解； 9 分令,得.因为，( )0g x20xaxa0,0ax所以（舍去） ，. 11 分2140 2aaax2242aaax当时，在是单调递减函数；2(0,)
9、xx( )0g x( )g x2(0,)x当时，在上是单调递增函数2(,)xx( )0g x( )g x2(,)x 当x=x2时, ，. 12 分2()0g xmin2( )()g xg x因为有唯一解，所以.( )0g x 2()0g x则 即 13 分22()0()0g xg x ，2 2222 222 ln200xaxaxxaxa ，两式相减得因为a0，所以. 14 分22ln0 axaxa ，222ln10 (*)xx 设函数，( )2ln1h xxx因为在x0 时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0 至多有一解因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解
10、得16 分1 2a B【解】特征多项式， 3 分2221( )(2)14312f 由，解得. 6 分( )0f121,3将代入特征方程组，得.110,00xyxyxy 可取为属于特征值1=1 的一个特征向量 8 分1 1 将代入特征方程组, 得.230,00xyxyxy 可取为属于特征值的一个特征向量 1 1 23综上所述,矩阵有两个特征值；属于的一个特征向量为，21 12 1213，111 1 属于 的一个特征向量为 10 分231 1 C C【解】 （1）曲线的极坐标方程可化为. 2 分C22 sin又,222,cos,sinxyxy所以曲线的直角坐标方程为. 4 分C2220xyy（2）
11、将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得. 6 分4(2)3yx 令,得,即点的坐标为(2,0).0y 2x M又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1,0)，半径，则.8 分CC1r 5MC 所以 10 分51MNMCr22.22. 【解】 （1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则 ，112 0 00 2 00 2 20 4 2CBAB，10 2 2AA ，1122 0BCBC， ，1 1141cos288AA BCAABC AABC ， 故与棱BC所成的角是 4 分1AA 3（2）设，111220B PBC，则2422P，于是2214424142AP（舍去） ，则P为棱的中点，3 211BC其坐标为 6 分1 3 2P ，设平面的法向量为n n1，1PABA, ,x y z则故n n18 分110320220.0.0APxyzxzyyAB ， nn2 0 1 ，BACA1B1C1 zxyP而平面的法向量是n n2=(1,0,0)，则，1ABA12 12 1222 5cos,5
