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1、一道竞赛题的推广李敬贤(河南省郑州市第三中学, 450000)2010 年全国高中数学联赛湖北省预赛高二年 级试题第 6 题是:题目 设椭圆x24+ y2= 1的左、 右焦点分别为 F1, F2, M 为椭圆 上异于长轴端 点的一点,NF1MF2=2H , vMF1F2的 内 心 为 I,则 | MI | cosH= . 这道题设计新颖, 集中考查了多个知识点, 综 合性较强, 是一道有较好区分度的好题. 通过研究, 笔者发现可以把这道试题推广为一般问题, 并 得到了一些很好的结果. 先证明下面的引理. 引理 已知 vABC 的内心为I , 则AB + AC - BC = 2AI # cosA
2、 2,AB + BC - AC = 2BI #cosB 2,AC + BC - AB = 2CI # cosC 2.图 1证明 如图 1, 设 vABC 的内切圆与边A B、AC 分别切于D、 E 两点, 则AD = AE =1 2( AB + AC - BC) ,又 AD = AI #cosA 2,所以 AB + AC - BC = 2AI #cosA 2.同理可证另两个等式成立. 可以将上面的竞赛题推广为下面的定理.定理 设椭圆x2a2+y2b2= 1(a b 0) 的左、右焦点分别为F1(- c, 0), F2( c, 0) , M 为椭圆上异于左、 右顶点外的一点, NF1MF2= 2
3、H , vMF1F2的内心为 I, 则 MI # cos H= a- c. 证明 根据引理 1 和题设条件可知: 对于 vMF1F2, 有MF1+ MF2- F1F2= 2MI #cos H . 又由椭圆的定义可知MF1+ MF2= 2a, F1F2 = 2c, 从而MI # cos H=1 2(MF1+ MF2- F1F2)=1 2(2a- 2c) = a- c.说明 我们可以利用定理的结论来求解湖北 省预赛题第 6 题, 过程如下:椭圆x24+ y2= 1中, 易求得a= 2, b= 1, c=3, 由定理的结论可知 MI# cosH= a - c = 2-3.下面再看一个例题.例1 设椭
4、圆x225+y29= 1的左、 右焦点分别为F1, F2, M 为椭圆上一点, NF1MF2=60b, 求 vMF1F2的内切圆的半径.解 椭圆x225+y29= 1中, 易求得 a = 5, b =3, c=25- 9 = 4. 设 vMF1F2的内切圆的圆心为I, 由定理1的 结论可知MI # cos(1 2NF1MF2) = a- c = 1.又 NF1MF2= 60b, 所以MI = 1 A cos 30b=2 3 3.因此, vMF1F2的内切圆的半径r = MI #sin(1 2NF1MF2)=2 3 3#sin 30b=3 3.(收稿日期: 2010- 05- 30)55# 课外园地# 数学通讯 ) ) 2010 年第 9 期(上半月)
