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1、1第三章第三章 函数的应用函数的应用(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1已知函数f(x)在区间a，b上单调，且f(a)f(b)0，则函数f(x)的图象与x轴在区间a，b内( )A至多有一个交点 B必有唯一一个交点C至少有一个交点 D没有交点【解析】 f(a)f(b)0，f(x)在a，b内有零点，又f(x)在区间a，b上单调，所以这样的点只有一个，故选B.【答案】 B2若方程f(x)20 在(，0)内有解，则yf(x)的图象是( )【解析】 要使方程f(x)20 在(，0)内
2、有解，只需yf(x)与直线y2 在(，0)上有交点，故 D 正确故选 D.【答案】 D3已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )【解析】 由二分法的定义与原理知A选项正确【答案】 A4函数f(x)的零点个数为( )x1lnx x3A1 个 B2 个 2C3 个 D4 个【解析】 函数f(x)的零点个数即为f(x)0 的根的个数，x1lnx x3f(x)0，即(x1)ln(x)0，x1lnx x3x10 或 ln(x)0，x1 或x1，Error!解得x0，函数f(x)的定义域为x|x0，x1，即方程f(x)0 只有一个根，函数f(x)的零点个数为 1 个故选A.x1lnx
3、 x3【答案】 A5甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图 1 所示，则下列说法正确的是 ( )图 1A甲比乙先出发B乙比甲跑的路程多C甲、乙两人的速度相同D甲比乙先到达终点【解析】 由题图可知，甲到达终点用时短，故选 D.【答案】 D6拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)1.06(0.50m1)给出，其中m0，m是大于或等于m的最小整数(例如2.723，3.84，3.14)，则从甲地到乙地通话时间为 5.5 分钟的电话费为多少元( )A3.71 B3.97 C4.24 D4.77【解析】 由m是大于或等于m的最小整数，可得5.56，所以f(5.5)1.0
4、6(0.5061)1.0644.24.故选C.【答案】 C7函数f(x)3xx2 的零点所在的一个区间是( )1 2A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)3【解析】 由已知可知，函数f(x)3xx2 单调递增且连续，f(2)1 20，f(0)f(1)0，由函数的零26 913 63 2点判定定理可知，函数f(x)3xx2 的一个零点所在的区间是(0,1)，故选C.1 2【答案】 C8函数f(x)Error!的零点个数为( )A0 B1 C2 D3【解析】 当x0 时，令x22x30，得x3；当x0 时，令2ln x0，得xe2，所以函数有两个零点故选C.【答案】 C9函数f(x)
5、|x|k有两个零点，则( )Ak0 Bk0C0k1 Dk0【解析】 在同一平面直角坐标系中画出y1|x|和y2k的图象，如图所示若f(x)有两个零点，则必有k0，即k0.【答案】 D10已知f(x)(xa)(xb)2，并且，是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，的大小关系可能是( )Aa0，而 00.【答案】 A12某商店计划投入资金 20 万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P ，Q(a0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯x 4a 2x利润总不少于 5 万元，则a的最小值应
6、为( )A. B5 5C D55【解析】 设投放x万元经销甲商品，则经销乙商品投放(20x)万元，总利润yPQ ，令y5，则 5.a10 ，即ax 4a 220xx 4a 220x20xx 21 2对 0x0，fln 2 ln ln ln ln ln 0，且a1)当 213b4b0.即f(2)f(3)1 时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点【解】 f(x)exmx，所以f(0)em0em0，f(m)e0m1m.又m1，所以f(m)1)在区间(0，m)内存在零点18(本小题满分 12 分)定义在 R R 上的偶函数yf(x)在(，0上递增，函数f(x)的一个零点为 ，求满足f(lo
7、gx)0 的x的取值集合. 【导学号：97030149】1 21 4【解】 是函数的一个零点，f0.1 2(1 2)yf(x)是偶函数且在(，0上递增，当 logx0，解得x1，当 logx ，1 41 41 2解得x2，所以 1x2.6由对称性可知，当 logx0 时， x1.综上所述，x的取值范围是.1 41 21 2，219(本小题满分 12 分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是 m/s，其中Q表示燕子的耗Q 10氧量(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速
8、度是多少？【解】 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v0，代入题给公式可得：05log2，解得Q10.即燕子静止时的耗氧量是 10 个单位Q 10(2)将耗氧量Q80 代入题给公式得：v5log25log2815(m/s)80 10即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度为 15 m/s.20(本小题满分 12 分)设f(x)ax2(b8)xaab的两个零点分别是3,2.(1)求f(x)；(2)当函数f(x)的定义域为0,1时，求其值域【解】 (1)因为f(x)的两个零点分别是3,2，所以Error!即Error!解得a3，b5，f(x)3x23x18.(2)由(1)知f(x)3
9、x23x18 的对称轴x ，函数开口向下，所以f(x)在0,1上1 2为减函数，f(x)的最大值f(0)18，最小值f(1)12，所以值域为12,1821(本小题满分 12 分)如图 2，直角梯形OABC位于直线xt右侧的图形的面积为f(t)图 2(1)试求函数f(t)的解析式；(2)画出函数yf(t)的图象. 【导学号：97030150】【解】 (1)当 0t2 时，f(t)S梯形OABCSODEtt8t2，35 2 21 21 27当 20，且a1)在 R R 上既是奇函数，又是减函数，则g(x)loga(xk)的图象是( )【解析】 由f(x)(k1)axax(a0，且a1)在 R R
10、上既是奇函数，又是减函数，所以k2,012x0，0x .1 2综上所述，当 0a1 时，有x，使得f(x)g(x)0；(1 2，0)当a1 时，有x，使得f(x)g(x)0.(0，1 2)21(本小题满分 12 分)甲乙两人连续 6 年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲，乙两图：甲 乙图 1甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第 1 年 1 万条鳗鱼上升到第 6 年 2 万条乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第 1 年 30 个减少到第 6 年 10 个请你根据提供的信息说明：15(1)第 2 年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；(2)到第
11、 6 年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第 1 年扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由【解】 由题意可知，图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y甲0.2x0.8，图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点，从而求得其解析式为y乙4x34.(1)当x2 时，y甲0.220.81.2，y乙423426，y甲y乙1.22631.2.所以第 2 年鱼池有 26 个，全县出产的鳗鱼总数为 31.2 万条(2)第 1 年出产鳗鱼 13030(万条)，第 6 年出产鳗鱼 21020(万条)，可见第 6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第 1 年缩小了(3)设第m年的规模最大，总出产量为n，那么ny甲y乙(0.2m0.8)(4m34)0.8m23.6m27.20.8(m24.5m34)0.8(m2.25)231.25，因此，当m2 时，n最大值为 31.2.即当第 2 年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为 31.2 万条
