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1、习题 5-1 数理统计的基础知识1某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为的泊松分布，从产品中抽一个容量为的样本，求样本的分布.n12,nXXX解：, 2 , 1 , 0,!),(kekkXPXk 所以 1122 1(,)()nnnii iP XkXkXkP Xk112!ni inkne kkk ，0,1,ik 1,2, ,in2设总体为其一个简单随机样本，求样本的分布.),(,), 1 (21nXXXpBX解：1 , 0,)1 (), 1 (1kppkXPpBXkk所以11221122, nnnnP Xx XxXxP Xx P XxP Xxnnxxxxxxpppp
2、pp111)1 ()1 (.)1 (2211其中nixi, 2 , 11 , 03加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为的指数分布，今以加工时间为零件1 的数量指标，任取件零件构成一个容量为的样本，求样本分布。nn解： 其它, 00,)(xexfXx故样本的密度为12(,)nXXX1 12 1,0(,) 0,.ni iixnnx in iexf xxxe 其它1,2,in4设是来自总体的一个样本，其中已知，未知，指出下12,nXXX),(2N2列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？222 123 11111() ,() ,()nnn i ii iiiXTXTTXXnn2 4 11()
3、n iiXXTn解：是统计量（不含未知参数） ，不是统计量（含未知参数）13,T T24,T T25设是来自上的均匀分布的样本，未知621,XXX, 00（1）写出样本的联合密度函数； （2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？ 621416362621 1,max,6XXXTXEXTXTXXXT（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。解：（1） 其他0,0,6216621xxxxxxf（2），是（不含未知参数） ，和不是（含未知参数）1T4T2T3T（3）样本均值8 . 0x样本方差0.04332s样本标准差2082. 0s
4、6从某班级的英语期末考试成绩中，随机抽取 10 名同学的成绩分别为：100，85，70，65，90，95，63，50，77，86（1）试写出总体，样本，样本值，样本容量；（2）求样本均值，样本方差及二阶原点矩。解（1）总体：该班级所有同学的英语期末考试成绩；X样本：（，）1X2X3X10X样本值：=（100，85，70，65，90，95，63，50，77，86）)x ,x ,x(n21样本容量：=10n（2）=78.1 252.5 6326.9x2s2a7已知某消协收到的大量顾客投诉的某品牌空调质量缺陷数的分布列为XX012345 p0.040.150.260.30.150.1现该消协就该品牌
5、空调的质量问题，对 200 人进行了调查，其中投诉空调缺陷数为 0，1，2，3，4，5 的人数分别为 10，37，49，55，36，13分别求总体的分布函数X 及其样本 容量为 200 的样本的经验分布函数解 总体的分布函数为：X5, 154, 9 . 043,75. 032,45. 021,19. 010,04. 00, 0)(xxxxxxxxF经验分布函数为：5, 154,935. 043,755. 032,48. 021,235. 010,05. 00, 0)(200xxxxxxxxF习题 5-2 常用统计分布1是正态总体的一组样本, 则统计量服从 12,nXXX(0,1)N222 12
6、nXXX_分布答案：2( )n2设，且 X,Y 相互独立，则随机变量服从 _分布(0,1)XN2( )YnXtYn答案：( )t n3设且 U，V 相互独立，则随机变量服从 _分布22 12(),()UnVn12U nFV n答案：12( ,)F n n4设总体 X 服从正态分布，为来自该总体的一个样本，要使(0,0.25)N127,XXX，则应取常数_ 71227ii)(Xaa答案：4因为：，所以) 1 , 0(5 . 0NXi)7(5 . 02712 iiX)7(5 . 0 12712 2 iiX45 . 0 12a5设总体，为总体的样本，则的分布为_20,XN:12,XX2 12 2 1
7、2()XXYXX答案：(1,1)F，)2 , 0(2 21NXX )2 , 0(2 21NXX ，) 1 , 0(21NXX ) 1 , 0(21NXX ，) 1 (2221XX ) 1 (2221XX 故2 12 2 12()XXYXX) 1 , 1 ( F6设服从分布，则服从_分布，服从_分布X( )t n2X2X解：因为相互独立且其中VUnVNUntnVUX,),(),1 , 0(),(/2又由) 1 (),1 , 0(22UNU相互独立且VU ,2), 1 (/1/2 2 1nFnVUXY) 1 ,(1/1222nFUnV XY7查表求，)12(2 99. 0)12(2 01. 0)1
8、2(99. 0t)12(01. 0t0.050.95(24,28),(12,9)FF解：，217.26)12(,571. 3)12(2 01. 02 99. 0681. 2)12(,681. 2)12(01. 099. 0tt0.050.95(24,28)1.91,(12,9)0.3571FF8. 设，求常数，使 10 tTc95. 0 cTP解：因为，即95. 0 cTP05. 0,05. 0cTPcTP即81. 11006. 0）（tc故81. 1c9设是独立同分布的随机变量，且每一个都服从521,XXX5 , 2 , 1iXi(0,1)N（1）试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度；
9、c2 22 1XXc2（2）试给出常数，使得服从 t 分布，并指出它的自由度。d 2 52 42 321 XXXXXd 解：（1）故)2(22 22 1XX；自由度为 21c（2），) 1 , 0(2),2 , 0(21 21NXXNXX)3(22 52 42 3XXX)3( 3/ )(2/ )(2 52 42 321t XXXXX故，自由度为 326d10设总体，从中抽取容量为 15 的样本，求概率2(0,0.3 )XN:1215,XXX.15 212.25i iPX解：因为)15(121512 22 iiX故25. 2P05. 0253 . 0 25. 23 . 0 1215122 2 P
10、XPii25152 05. 0）（习题 5-3 抽样分布1设是正态总体的样本，和分别是样本均值和样本方差， 112,nXXX2,N X2s则有（ ） 。A B 2 2 211nSn: 221 21ni iXX n :C D 2221 21ni iXnX n : 221 2ni iX n :答案：A，B,C,D2设为来自正态总体简单随机样本，是样本均值，记nXXX,21),(2NX，212 1)(11XXnSnii 212 2)(1XXnSnii 212 3)(11 niiXnS，则服从自由度为的 分布的随机变量是 22 4 11()ni iSXn1ntA) B) C) D) 1/1nSXt1/
11、2nSXtnSXt/3nSXt/4答案：B，) 1 , 0(/NnX) 1()(1212 2 nXXnii niiXXnnXt02)(11(） niiXXnnX02)() 1(1) 1(1/2ntnSX3设是来自正态总体的容量为 n+m 的样本，则统计121,nnn mXXXXX2(0,)N量服从的分布是 2121ni i n mi i nm V n A) B) C) D) ( , )F m n(1,1)F nm( ,)F n m(1,1)F mn 答案：C因为，)(1212 2nXnii )(1212 2mXmnnii故2121ni i n mi i nm V n ),( /1/112 21
12、2 2 mnF mXnXmnniinii4设和分别来自两个正态总体和的样本，821X,X,X，1210,Y YY2( 1,2 )N (2,5)N且相互独立，和分别为两个样本的样本方差，则服从的统计量是 2 1S2 2S(7,9)FA) B) C) D) 2 12 22 5S S2 12 25 4S S2 12 24 5S S2 12 25 2S S答案：B因为= ) 1/() 1() 1/() 1(22 22 2212 12 11 nSnnSnF2 22 22 12 1 SS52 2 222 1SS2 12 25 4S S5. 设为正态总体的一个样本，则_， 12,nXXX),(2NX_分布.
13、)( SnX答案： ) 1(),(2 ntnN，6服从正态分布，则服从_分布.X niiXnXEXEX121, 4, 1X答案：3(1, )Nn因为， niiXnXEXEX121, 4, 1314)()(22EXEXXD)3, 1 (3)(1)(, 1)()(nNXnXDnXDXEXE7.设为来自正态总体的简单随机样本，分别为样本均值nXXX,21) 1 , 0(NXS和样本标准差，则 XSn答案：(1)t n因为XSn1) 1(/1022SnnX(1)t n8设是来自具有分布的总体的样本，求样本均值的数学期望和方12,nXXX2( )nX差.解：2,2DXnEXEXn DXnn9设是总体的样本，是样本方差，若， 1217,XXX( , 4)N2S2()0.01P Sa求a（注：, , , ）2 0.01(17)33.42 0.005(17)35.72 0.01(16)32.02 0.005(16)34.2解：)16(
