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1、概率初步单元复习与巩固概率初步单元复习与巩固撰稿：庄永春 审稿：严春梅 责编：张杨 一、知识框图一、知识框图二、目标认知二、目标认知 学习目标学习目标1理解并掌握确定事件和不确定事件，必然发生的事件和不可能发生的事件.知道必 然发生的事件概率为 1，不可能发生事件的概率为 0，随机事件发生的概率在 0 和 1 之间；2会用列表法和树形图法解决随机事件的概率，并注意二者的区别与联系；3用频率去估计实际概率要注意试验的次数必须足够多.重点重点1随机事件、必然事件、不可能事件等的判断；2用列举法求概率；3利用稳定后的频率值来估计概率的大小.难点难点1用试验得出概率；2列表法与树形图法的选择使用；3利
2、用稳定后的频率值来估计概率的大小.三、知识要点梳理三、知识要点梳理 ( (一一) )概率的有关概念：概率的有关概念： 1.概率的定义：概率的定义：某种事件在同一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小， 我们把刻划事件发生的可能性的大小的量叫做概率.2.概率论：概率论：研究概率的科学叫概率论.概率主要研究不确定现象，概率论作为一门科学，和人们的 日常生活有着紧密的联系，比如：各种彩票、抽奖等等.人们用概率知识解决了许多生产实际问题.3.必然事件：必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.4.不可能事件：不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这
3、些事情称为不可能事件.5.不确定事件：不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.必然事件、不可能事件都是在事先能肯定它们会发生，或事先能肯定它们不会发生的 事件，因此它们也可以称为确定性事件.( (二二) )概率的计算：概率的计算：概率的计算有理论计算和实验计算两种方式，根据概率获得的方式不同，它的计算方 法也不同.当试验次数很大时，一个事件发生的频率也稳定在相应的概率附近.因此，我们可以通 过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.对于某些特殊类型的试验，实际上不需要作大量重复的试验，而通过列举法进行分析 就能得到事件的概率.例如掷一个骰子(骰子的
4、构造相同，质地均匀)，向上的一面的点数有6 种可能，即 1，2，3，4，5，6.因此每种结果的可能性相等，都是.或从分别标有1，2，3，4，5 号的 5 根纸签中随机地抽取一根(纸签的形状，大小相同)，抽出的签上的号码有 5 种可能，即 1，2，3，4，5.因此每个号被抽到的可能性相等，都是.以上两个试验的共同特点是：1一次试验中，可能出现的结果有限多个；2一次试验中，各种结果发生的可能性相等.具有这些特点的试验称为古典概型.如何求具有上述特点的随机事件的概率呢？如果一次试验中共有 n 种可能出现的结果，而且这些结果出现的可能性都相同，其中事件 A 包含的结果有 m 种，那么事件 A 发生的概
5、率 P(A)=，可以利用列表法或树状图来球其中的 m、n，从而得到事件 A 的概率.由此我们可以得到：不可能事件发生的概率为 0，即 P(不可能事件)=0；必然事件发生的概率为 1，即 P(必然事件)=1；如果 A 为不确定事件，那么 0P(A)1.四、规律方法指导四、规律方法指导1生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，必然事件发生的概率为 1，即 P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为 0，即 P（不可能事件）=0；如果 A 为不确定事件，那么 0P(A)1.2随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及
6、一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系， 对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发 生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算.实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算.要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为 事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率.第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算.如，利用计算器产生随机数来模拟实验.综上所述，目前掌握的有关于概率模型大致分为三类；第一类问题没有理论概率，只 能借助实验模拟获得其估计值；第二类问题虽然存在理论概率但目前尚不可求，只能借助
7、 实验模拟获得其估计值；第三类问题则是简单的古典概型，理论上容易求出其概率.这里要引起注意的是，虽然我们可以利用公式计算概率，但在学习这部分知识时，更 重要的是要体会概率的意义，而不只是强化练习套用公式进行计算.3你知道概率有哪些应用吗？通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系 密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设 计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些 实际问题.经典例题透析经典例题透析类型一：随机事件类型一：随机事件1选择题：4 个红球、3 个白球和 2 个黑球放入一个不透明
8、袋子里，从中摸出 8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情( )A.可能发生 B.不可能发生 C.很可能发生 D.必然发生思路点拨：思路点拨：共有 9 个小球，从中摸出 8 个还剩下一个，不管剩下什么颜色的球，这 8个球中必然红、白、黑都有，故选 D.答案：答案：D.举一反三举一反三【变式 1】下列事件是必然事件的是( )A.中秋节晚上能看到月亮 B.今天考试小明能得满分C.早晨太阳会从东方升起 D.明天气温会升高答案：答案：C.【变式 2】在 100 张奖券中，有 4 张中奖.某人从中任意抽取 1 张，则他中奖的概率是( )A. B. C. D.答案：答案：A.类型二：概率的意义：类型二
9、：概率的意义：2有如下事件，其中“前 100 个正整数”是指把正整数按从小到大的顺序排列后的前面 100 个.事件 1：在前 100 个正整数中随意选取一个数，不大于 50；事件 2：在前 100 个正整数中随意选取一个数，恰好为偶数；事件 3：在前 100 个正整数中随意选取一个数，它的 2 倍仍在前 100 个正整数中；事件 4：在前 100 个正整数中随意选取一个数，恰好是 3 的倍数或 5 的倍数.在这几个事件中，发生的概率恰好等于的有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个思路点拨：思路点拨：事件是从前 100 个正整数中随意选取一个数，其中任何一个数被选取出来的可能性都
10、是一样的，所以有 100 个可能的结果，而从中随意选取一个，只有一种结果，所以其中每个数被选取的概率都是.解：解：事件 1：在前 100 个正整数中，不大于 50 的数共有 50 个(1，2.，50)，因此，事件 1 发生的概率为而；事件 2：在按顺序排列好的一列正整数中，奇偶相间，所以前 100 个正整数中恰好有 50 个偶数，因此，事件 2 发生的概率也是.事件 3：1 到 50 这 50 个正整数的 2 倍都在前 100 个正整数之中，且只有这 50 个正整数符合这一要求，因此，事件 3 发生的概率仍然是.事件 4：前 100 个正整数 3 的倍数有 33 个(3，6，99)，5 的倍数
11、有 20 个(5，10，100)，既是 3 的倍数，又是 5 的倍数有 6 个(15，30，90).所以前 100 个正整数中恰好是 3 的倍数或 5 的倍数有 33+20-6=47(个)，而 4750，因此，事件 4 发生的概率不是.答案：答案：C举一反三举一反三【变式 1】从两副拿掉大、小王的扑克牌中，各抽取一张，两张牌都是红桃的概率是_.答案：答案：.【变式 2】口袋中放有 3 个红球和 11 个黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是_.答案：答案：.类型三：概率的计算类型三：概率的计算1.1.列表法列表法3有两只口袋，第一只口袋中装有红、黄、蓝三个
12、球，第二只口袋中装有红、黄、蓝、白四个球，求分别从两只口袋中各取一个球，两个球都是黄球的概率.思路点拨：思路点拨：如下表所示、两球都是黄球只有一种，而所有的情况共有 12 种，所以两个球都是黄球的概率是.红黄蓝白红红，红红，黄红，蓝红，白黄黄，红黄，黄黄，蓝黄，白蓝蓝，红蓝，黄蓝，蓝蓝，白解：解：所有可能结果共有 12 种，两球都为黄球只有 1 种.故 P(两球都是黄球)总结升华：总结升华：列表法可以不重复、不遗漏地列举所有可能结果.举一反三举一反三【变式 1】抛两枚普通的正方体骰子，朝上一面的点数之和大于 5 而小于等于 9 的概率是多少?思路点拨：思路点拨：试验涉及的因素多，可能的结果数目
13、较多，且要计算朝上一面的点数之和，用列表法列举比较容易.解：解：列表如下12345611+1=21+2=31+3=41+4=51+5=61+6=722+1=32+2=42+3=52+4=62+5=72+6=833+1=43+2=53+3=63+4=73+5=83+6=944+1=54+2=64+3=74+4=84+5=94+6=1055+1=65+2=75+3=85+4=95+5=105+6=1166+1=76+2=86+3=96+4=106+5=116+6=12由表可以看出两个向上一面的点数之和共有 36 种结果，符合条件的有 20 种.P(点数之和大于 5 而不大于 9)=.【变式 2】在
14、生物学中，我们学习过遗传基因，知道遗传基因决定生男生女，如果父亲的基因用 X 和 Y 来表示，母亲的基因用 X 和 X 来表示，X 和 Y 搭配表示生男孩，X 和 X 搭配表示生女孩，那么生男孩和生女孩的概率各是多少?解：解：列表如下：XXXX，XX，XYY，XY，X通过上表可知，生男孩和生女孩的概率各是.【变式 3】两个人做游戏，每个人都在纸上随机写一个-2 到 2 之间的整数(包括-2 和 2)，将两人写的整数相加，和的绝对值是 1 的概率是多少?解：解：两人所写整数相加的和的所有可能如下：-2-1012-2-4-3-2-10-1-3-2-1010-2-10121-10123201234由
15、此可知，绝对值是 1 的有 8 种.所有可能有 25 种.所以两人所写数字之和的绝对值是 1 的概率是.【变式 4】有两组卡片，第一组的三张卡片上分别写有 A、C、C；第二组的五张卡片分别写有 A、B、B、C、C，那么从每组卡片中各抽出一张，两张都是 C 的概率是多少？解：解：列表如下：ABBCCAA，BA，BA，BA，CA，CCC，AC，BC，BC，CC，CCC，AC，BC，BC，CC，C从表中可看出两张都是 C 的情况有 4 种，所有可能情况有 15 种，所以两张都是 C的概率是.2.2.树形图法树形图法4将分别标有数字 1、2、3 的三张卡片洗匀后.背而朝上放在桌面上.(1)随机地抽取一
16、张，求 P(奇数)；(2)随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张作为个位上数字，能组成哪些两位数？恰好是“32”的概率为多少？解：解：(1)P(奇数)=.(2)从树形图中得到所组成的两位数有 6 个：12，13，21，23，31，32.恰好是 32的概率是.举一反三举一反三【变式 1】两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，假定两人都是等可能地取“石头、剪子、布”三个中的一个，那么一个回合不能决定胜负的概率是多少？思路点拨：思路点拨：可列出下面的树形图，如图所示.所以一个回合不能决定胜负的概率为.3.3.用频率估计概率用频率估计概率5某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数n8101291610进球次数m6897127进球频率(1)计算表中各次比赛进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？解：解：(1)0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7；
