线性系统理论(郑大忠)第4章

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1、广东工业大学 自动化学院 自动控制系 线线 性性 系系 统统 理理 论论 主讲教师主讲教师 陈玮陈玮 广东工业大学 自动化学院 自动控制系 第第4 4章章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性 2013/11/22 线性系统理论线性系统理论 2 第第4章章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性 一一、能控性和能观测性能控性和能观测性 二二、连续时间线性时不变系统的能控性判据连续时间线性时不变系统的能控性判据 三三、连续时间线性时不变系统的能观测性判据连续时间线性时不变系统的能观测性判据 四四、连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据连续时间线性时变系统的能控性

2、和能观测性判据 五五、离散时间线性系统的能控性和能观测性判据离散时间线性系统的能控性和能观测性判据 六六、对偶性对偶性 七七、离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件 八八、能控规范形和能观测规范形：单输入单输出情形能控规范形和能观测规范形：单输入单输出情形 九九、能控规范形和能观测规范形：多输入多输出情形能控规范形和能观测规范形：多输入多输出情形 十十、连续时间线性时不变系统的结构分解连续时间线性时不变系统的结构分解 十一十一、本章小结本章小结 广东工业大学 自动化学院 自动控制系 第第4 4章章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性

3、2013/11/22 线性系统理论线性系统理论 3 一、一、能控性和能观测性能控性和能观测性 1、对能控性和能观测性的直观讨论、对能控性和能观测性的直观讨论 2、能控性的定义、能控性的定义 3、能观测性的定义、能观测性的定义 广东工业大学 自动化学院 自动控制系 第第4 4章章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性 2013/11/22 线性系统理论线性系统理论 4 1、对能控性和能观测性的直观讨论、对能控性和能观测性的直观讨论 从物理直观性看，从物理直观性看， 能控性能控性研究系统内部状态“是否可由输入影响”研究系统内部状态“是否可由输入影响” 的问题；的问题； 如果系统内部

4、每个状态变量都可由输入完全影如果系统内部每个状态变量都可由输入完全影 响，则称系统的状态完全能控。响，则称系统的状态完全能控。 能观测性能观测性研究系统内部状态“是否可由输出反研究系统内部状态“是否可由输出反 映”的问题映”的问题 ； 如果系统内部每个状态变量都可由输出完全反如果系统内部每个状态变量都可由输出完全反 映，则称系统的状态为完全能观测。映，则称系统的状态为完全能观测。 广东工业大学 自动化学院 自动控制系 第第4 4章章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性 2013/11/22 线性系统理论线性系统理论 5 1、对能控性和能观测性的直观讨论、对能控性和能观测性的直

5、观讨论 例：给定一个连续时间线性时不变系统，状态空间例：给定一个连续时间线性时不变系统，状态空间 描述为：描述为： uxxxx 2150042121 2160xxyuxx114 uxx252226xy2x1x和和 都可由输入都可由输入u完全影响，系统状态完全影响，系统状态 状态变量状态变量 完全能控。完全能控。 2x1x和和 可由输出可由输出y完全反映，但状态变量完全反映，但状态变量 状态变量状态变量 输出没有关系，系统状态为不完全能观测。输出没有关系，系统状态为不完全能观测。 广东工业大学 自动化学院 自动控制系 第第4 4章章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性 2013

6、/11/22 线性系统理论线性系统理论 6 1、对能控性和能观测性的直观讨论、对能控性和能观测性的直观讨论 例：考察图示电路。系统状态变量取为电容端电压例：考察图示电路。系统状态变量取为电容端电压 x，输入取为电压源输入取为电压源u(t)，输出取为电压输出取为电压y。 xyR)(tuRRRC* 若有初始状态若有初始状态x(t0)=0 ，则不则不 管如何选取输入管如何选取输入u(t)，对所有对所有 时刻时刻t t0 ，都恒有都恒有x(t)=0 ，即即 状态状态x不受输入不受输入u(t)影响，系统影响，系统 状态不能控；状态不能控； * 若有输入若有输入u(t)=0 ，则不论电容初始端电压即初始则

7、不论电容初始端电压即初始 状态状态x(t0)取为多少，对所有时刻取为多少，对所有时刻t t0 ，都恒有输出都恒有输出 y(t)=0 ，即状态即状态x不能由输出不能由输出y(t)反映，即系统状态反映，即系统状态 为不能观测。为不能观测。 广东工业大学 自动化学院 自动控制系 第第4 4章章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性 2013/11/22 线性系统理论线性系统理论 7 2、能控性的定义、能控性的定义 不失一般性，考查连续时间线性时变系统，状不失一般性，考查连续时间线性时变系统，状 态方程为：态方程为： U)(X)()(X :tBtAtJt其中，其中，x 为为n维状态，维

8、状态， u为为p维输入，维输入， J 为时间定义区为时间定义区 间，间， A(t)和和B(t)为为nn和和np时变矩阵，时变矩阵， A(t)的元在的元在 J上为绝对可积，上为绝对可积，B(t)的元在的元在J上为平方可积上为平方可积 。 广东工业大学 自动化学院 自动控制系 第第4 4章章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性 2013/11/22 线性系统理论线性系统理论 8 2、能控性的定义、能控性的定义 （1）一个状态的能控性和能达性）一个状态的能控性和能达性 Jt 0定义定义一个状态能控性一个状态能控性对上述系统和指定初始时刻对上述系统和指定初始时刻 ,称一个非零状态称一

9、个非零状态X0在时刻在时刻t0为能控，如果存在为能控，如果存在 一个时刻一个时刻 011,ttJt，以及一个无约束容许控制，以及一个无约束容许控制U(t) ， ,10ttt，使系统状态由，使系统状态由X(t0) X0转移到转移到X(t1)0。 Jt 0定义定义一个状态能达性一个状态能达性对上述系统和指定初始时刻对上述系统和指定初始时刻 称一个非零状态称一个非零状态Xf在时刻在时刻t0为能达，如果存在为能达，如果存在 一个时刻一个时刻 011,ttJt，以及一个无约束容许控制，以及一个无约束容许控制U(t) ， ,10ttt，使系统状态由，使系统状态由X(t0)0转移到转移到X(t1) Xf 。

10、 广东工业大学 自动化学院 自动控制系 第第4 4章章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性 2013/11/22 线性系统理论线性系统理论 9 2、能控性的定义、能控性的定义 1、能控性和能达性属于表征系统受控状态运动可、能控性和能达性属于表征系统受控状态运动可 到达任意目标状态的一种定性属性。到达任意目标状态的一种定性属性。 说明：说明： 2、定义中无约束容许控制的提法具有双重含义。、定义中无约束容许控制的提法具有双重含义。 “无约束”反映输入“无约束”反映输入U的每个分量在幅值上的的每个分量在幅值上的 无限制性；无限制性； “容许控制”是指输入“容许控制”是指输入U所有分

11、量在区间所有分量在区间J上的上的 平方可积属性。平方可积属性。 广东工业大学 自动化学院 自动控制系 第第4 4章章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性 2013/11/22 线性系统理论线性系统理论 10 2、能控性的定义、能控性的定义 3、能控性和能达性都是相对于时间区间、能控性和能达性都是相对于时间区间J中的一个中的一个 取定时刻取定时刻t0定义的，这对于定义的，这对于时变系统时变系统是必要的。是必要的。 对线性对线性时不变系统时不变系统，不管是能控性还是能达性都与，不管是能控性还是能达性都与 时刻时刻t0的选取无关。的选取无关。 4、能控性和能达性在定义上只有微小差别

12、。、能控性和能达性在定义上只有微小差别。 能控性能控性规定为由非零状态转移到零状态；规定为由非零状态转移到零状态； 能达性能达性规定为由零状态转移到非零状态。规定为由零状态转移到非零状态。 对连续时间线性对连续时间线性时不变系统时不变系统，两者等价两者等价； 对对离散时间系统离散时间系统，若系统矩阵为非奇异，若系统矩阵为非奇异，两者等价两者等价； 对连续时间对连续时间时变系统时变系统，两者一般不等价两者一般不等价。 广东工业大学 自动化学院 自动控制系 第第4 4章章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性 2013/11/22 线性系统理论线性系统理论 11 2、能控性的定义、

13、能控性的定义 （2）系统的能控性和能达性）系统的能控性和能达性 Jt 0定义定义系统完全能控系统完全能控/能达能达对上述系统和指定初始时刻对上述系统和指定初始时刻 ，称系统，称系统 在时刻在时刻t0 为完全能控为完全能控/能达，如果能达，如果 : 状态空间中所有非零状态在时刻状态空间中所有非零状态在时刻 Jt 0为完全能控为完全能控/ 能达。能达。 Jt 0定义定义系统不完全能控系统不完全能控/能达能达对上述系统和指定初始时对上述系统和指定初始时 刻刻 ，称系统，称系统 如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态 :Jt 0为不能控为不能控/能达。

14、能达。 在时刻在时刻t0 为不完全能控为不完全能控/能达，能达， 集合在时刻集合在时刻 广东工业大学 自动化学院 自动控制系 第第4 4章章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性 2013/11/22 线性系统理论线性系统理论 12 2、能控性的定义、能控性的定义 （3）系统的一致能控性和一致能达性）系统的一致能控性和一致能达性 Jt 0定义定义一致完全能控一致完全能控/能达能达称上述系统为一致完全能称上述系统为一致完全能 控控/能达，如果系统能达，如果系统 的选取无关。的选取无关。 Jt 0对对任意初始时刻任意初始时刻 均为完均为完 全能控全能控/能达，即系统的能控能达，即系

15、统的能控/能达与初始时刻能达与初始时刻 说明：说明： 一致能控性一致能控性/能达性属于线性时变系统的特殊问题；能达性属于线性时变系统的特殊问题； 对线性时不变系统，系统完全能控对线性时不变系统，系统完全能控/能达，必为一致能达，必为一致 完全能控完全能控/能达。能达。 广东工业大学 自动化学院 自动控制系 第第4 4章章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性 2013/11/22 线性系统理论线性系统理论 13 2、能观测性的定义、能观测性的定义 不失一般性，考查连续时间线性时变系统，状不失一般性，考查连续时间线性时变系统，状 态方程为和输出方程为：态方程为和输出方程为： 其中，其中，X为为n维状态，维状态， U为为p维输入，维输入， Y为为q维输出，维输出， J 为时间定义区间，为时间定义区间， A(t)、B(t) 、 C(t)和和D(t)为为nn、 np 、 qn和和qp时变矩阵，时变矩阵， A(t)的元在的元在J上为绝上为绝 对可积，对可积，B(t)的元在的元在J上为平方可积上为平方可积 。 U)(X)()(X :tBtAtJtt,000X)(XtU)(X)()(YtDtCt广东工业大学 自动化学院 自动控制系 第第4 4章章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测