《从零学相对论》连载(26)

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1、第 3 3卷 第 8期 2 01 4年 8月 大学 物 理 COLLEGE PHYS I CS Vo I 3 3 NO 8 Aug 2 01 4 从零学相对论 连载 梁灿彬 ， 曹周键 ( 1 北京 师范大 学 物理 系， 北京1 0 0 8 7 5； 2 中科院 应 用数学 所 ， 北京1 0 0 1 9 0 ) 8 8伯克霍夫定理 正如 6 5所云 ， 史 瓦西之所 以能够 很快就求 得真空爱因斯坦方程 的第一个精确解 ， 是 因为他巧 妙地利用了问题本身的对称性恒星既是球对称 的 ， 又 是静 态 的 然 而 ， 任何 恒星 都不 是永 恒 不变 的 ， 它 们也 像人 一样 要 经 历

2、 生 、 老 、 病 、 死 等 各 个 演 化 阶 段 ， 恒 星在 许多 阶段 中并不 处于 静态 之 中 ， 这 时恒 星 外 部 的时 空几 何还 可用 史 瓦西 真空 线元 式 ( 8 7 1 ) 描 述 吗? 如果 有人 向史 瓦 西 提 出这 个 问 题 ， 恐 怕 他 也 难 以 回答 直 到 1 9 2 3年 ， 伯克 式 霍 夫 ( B i r k h o ff ) 才 对 此 问题 给 出 了肯 定 的 答 案 ， 因 为 他 证 明 了 如 下 定 理 ： 伯克霍夫 定理 ( 1 9 2 3 ) 真空爱 因斯坦方 程 的 球 对称 解必 静 态 根据这一定 理 ， 即使

3、恒星处 于急剧 的收缩 、 膨 胀 、 径 向震 荡 甚 至 爆 炸 的过 程 中 ( 已经 远 离 静 态 ) ， 只要 它 的物 质 分 布 仍 然 保 持 球 对 称 性 ， 它 外 面 ( 真 空 中 ) 的 时 空 线 元 必 然 仍 是 静 态 球 对 称 线 元 ， 因而 仍 可 由史 瓦西 真空 解 ( 8 7 1 ) 描 述 这 就 为 星 体 演 化的研究提供了很大的方便 ( 见 8 9 ) 然 而 后 来 发 现 伯 克霍 夫 定 理 的提 法 不 够 准 确 彼得罗夫 ( P e t r o v ) 于 1 9 6 3年最先提 出质疑 ， 应该 修 正 修正 后 的表述

4、 为 修 正 后 的伯克 霍夫 定 理 真空 爱 因斯坦 方程 的 球 对称 解 必为 史 瓦西线 元 表 面看 来 修 正 前后 的两 个 定 理 似乎 一 样 ， 其 实 却 有 重要 不 同 关 键在 于式 ( 8 7 3 7 ) 下 面注 记 2的 结 论 ， 即史 瓦 西最 大 延 拓 时 空 就其 整 体 而 言不 是 静 态时空 所 以说伯克霍夫定理的原始提法必须修正 修 正 后 的伯克 霍 夫定 理 也 非 常 有 用 ， 因 为恒 星在 各 个演化阶段 中通 常都 能保 持球对 称 性 ， 于是 星外 ( 真空 中) 的时空几何仍然由史瓦西线元描述 8 9 恒星 的引力坍缩和

5、史瓦西黑洞 如 小节 7 2 2所 讲 ， 大 质量 球 对 称 恒 星 如果 不 能在 演化 中通 过 抛 出足够 质量 成 为稳定 的 白矮 星或 中子星 ， 就根本没有稳定状态可言 ， 只能不断坍缩 ， 最终成为黑洞 根 据伯克霍夫定 理 ( 见上节 ) ， 爱 因 斯坦方程的真空球对称解必 为史瓦西线元 ， 因此可 用 图 8 1 5表 示 图 中无 阴影 部 分 与 图 8 1 3的相 应 部分 全 同 ， 但 阴影 部 分 则 由 星 内线 元 ( 爱 因 斯 坦 方 程 的非真 空 解 ) 描 述 ， 所 以球 对 称 坍 缩 星 的 时 空 根 本 没 有 白洞 区 w ， 也

6、 没有 A 区 ， 但 黑 洞 区 B以及 A 区 的一部 分在 此 情 况 下有 重 要 意义 无 论 构成 星体 的物质是如何坚实 ， 只要星体表面越过视界 ， 就只能 不断 收缩 ， 直 至整 个 星体被 压缩 为 奇点 r = 0 理 由很 简单 ： 星体 表 面任 一 点 的 世 界 线都 必 须 位 于该 点 的 光锥 之 内 ( 以保 证 类 时性 ) ， 因而 与 轴 的 夹 角必 须 小于 4 5 。 ( 请注意图 8 1 3和 8 1 5中 4 5 。 斜直线代 表径 向类 光 曲线 ) 史 瓦西 坐标 系 t ， r 只能 覆 盖 r 2 M( 或 0 2 M 和 0 2

7、 M) 容 易让 人误 以为 坍缩 星表 面永 远 处 于 视 界 r =2 M 以外 ， 这 种误 解来 自把 t = 混 同 于 “ 永 远 ”( 知 道 芝 诺 佯 谬 的读 者应 注意 到 坐标 时 间 t 同“ 阿 基里斯 时 间 ” 的类 似性 ) 由 图 8 一 l 3 ( b ) 可 知 星 体 表 面 与 r =2 M 的交 点 ( 见 图 8 1 5的 P ) 对 应 于 t =。 。， 但 星体 表 面 的观 者在 P点 的 固有 时 却 是 有 限值 ， 他从 此 进 入 黑 洞 并在很短 的固有时间 A r内掉入奇点( 对 M： 3 M 的 黑洞 ， 7 - 约 为

8、2 1 0 S ) 恒星坍缩成黑洞的过程还可更形象地用另一坐 标系描述 作为预备 ， 我们先介绍内向爱丁顿坐标系 ， r ， 0 ， ， 它虽 然 不 像 克鲁 斯 科 尔 系 那 样 能 覆 盖 最大 延拓 的史 瓦 西 时 空 ， 但 能覆 盖 A 区 和 B区 ( 而 6 2 大学物理 第 3 3卷 史 瓦西 坐标 系则 只 能覆 盖 4个 区 中 的一 个 ) 就 是 说 ， 它 能消 除 A， B区之 间 的 r =2 M 面 的 奇性 该 系 的 r ， 0 ， 与史 瓦西 系 的对 应 坐标相 同 ， 而 ；t + r 。 ( 8 - 9 1 ) 史 瓦西 系 的前两 维线 元

9、=_ ( 1 2 M + ( ， 一 ( 8 - 9 - 2 在 内向爱 丁顿 系成 为 d z ： 一 f 1 一 1 d v 2 + 2 d 舭 d ( 8 9 3 ) 坍 缩 星 由 心 一 一 图 8 1 5 用克鲁斯科 尔坐 标描述恒 星晚期 坍 缩 史 瓦 西 真 空解 只适 用 于 星外 ，B 区 ( 不含阴影部分 ) 代 表坍缩造成的黑洞 上 式 的线 元 系数 g =一 ( 1 2 M r ) ， g ， =1 ， g = 0在 r = 2 M处 都表 现 良好 ， 而且 系数 行列 式 g=一 1 0 ， 所 以 r ： 2 M 不再 是 奇点 注意 到 一 2 M) ，

10、它 们 的 r 值 只能 不 断 减小 至 零 ( 掉 入奇 点 ) 由这 两族 类光 曲线 可 方便 地 画 出 各 点 的光 锥 ， 它们 对于 正确 画 出质 点 的 世界 线 大 有 帮 助 ( 因 为 质 点 的世界 线 必 须 在 光锥 以 内 ) 由此 可 知 视 界 外 的 质点 可穿 越视 界进 入 黑洞 ， 而一 旦进 入就 无法 退 出 ， 只能 落人 奇点 将 图 8 一 l 7以 t 轴为对 称 轴旋 转 便 得 3维时空图( 图 8 1 8 ) ， 再补上坍缩星表面的世界面 ( 图 中的炮 弹 形 ) ， 就可 形 象地 表 现 坍 缩 为黑 洞 的 星 体 的外部

11、时空几何 为便于理解 ， 讨论 以下假想实验 ( “ 假 想 ” 包括忽 略 潮汐 力 ) 设某 人 自愿 充 当黑 洞 探 险者 ， 他 坐着燃 料 充 足 的 飞 船从 远 方 实 验 室 出发 做 黑 洞探险 如 果他 不开 动 发动机 ， 飞 船将 在黑 洞外 面 不断 自由下落， 必然穿过视界进入黑洞并葬身奇点 但 如果 他在 到 达 视 界 前 “ 悬 崖 勒 马 ” ， 掉 转 船 头 ， 开 足 马力 ( 即在 r尚 未小 到 2 M 时 就 让 它 重 新 变 大 ) ， 是 可 以安 全 返航 并提 交探 险报 告 的 然 而 ， 如果 他贪 婪一 点 ， 多走 一 步 到

12、 达 视 界 ( 须 知 当他 的世 界线 与 视 界的世 界 面相 交时 他并 无 特 殊感 觉 ) ， 就 将 “ 一 失 足成千古恨”， 因为 由视界上的光锥 可知一到视界 就 无法逆 转 ， 就连 向远 方 实 验 室 的朋 友用 手 机 打 个 无线 电话 也 传不 出去 ， 因为 在视 界 上 发 出 的“ 外 向 ” 光 子只 能沿 视界 竖直 向上 ( r 值永 远 保持 为 2 M) 以 上 就是 黑洞 探险 者 的遭 遇 ， 下 面 再讨 论 黑洞 探 险 者 的 外观 假定 探 险者 身上 装有 永能 发光 的灯 泡 ， 远 方 实 验室 的静 态 观 者 用 最 理 想

13、 的 观 测 仪 器 密 切 观 测 ( “ 最 理 想 ” 是指 可 以 观 测 到 任 何 波 长 、 非 常 微 弱 的 电磁波 ) 图 8 一 l 8示 出探 险 者 世 界线 所 发 出的外 向 光 子 到达外 部静 态 观 者 的 情 况 由于 探 险 者世 界 线 在 视界 以内 ( 黑 洞 区 内 ) 的 一 段 发 出 的 光 子 不 能 到 达 视界 以外 ， 外 部观 者 似 乎 会 看 到 探 险 者 在走 到 某 处 时 忽然 消失 然 而 细 观 图 8 1 8可 知 情 况 并 非 如 此 由于视 界 以外 的 外 向光 子 世 界 线 越 靠 近视 界 越 陡峭

14、 ， 在 视 界 上 完 全 竖 直 ( 躺 在 视 界 面 上 永 不 离 开 ) ， 外部 观者 将 永 远 ( 无论 其 固 有 时 为 多 大 ) 收 到 探 险 者所 发 出的光 ( 只不 过 是 他 到达 视 界 之前 所 发 的光 ) 他 会感 到探 险者 越 走越 慢 ( 但 永 不停 止 ) ， 不 断逼 近某 个地 方 ( 视界 ) ， 并且 越来 越 像 是“ 冻结 ” 在 那里 这 就是 黑洞探 险 者 的外观 真实 遭遇 和 外观 的 如此 不 同正是 奇点 周 围引 力 奇 强 的表 现 如 果 外部 观者 观察 坍缩 星 的表 面 ， 也 会 看 到 类 似 现

15、象 星 体越 来越 趋于 某一 大小 ， 其 半 径 以越 来 越 小 的速 率 趋 于 2 M 并将 “ 冻结 ” 在 这一 大 小 上 ( 所 以在 “ 黑 洞 ” 一词提出前曾有过 “ 冻结星” 的称 谓) 这种现象也 大学 物 理 第 3 3卷 可 看作 引力 场 中 的钟 慢 效应 ， 但 不 全 同于小 节 8 3 1的引力 钟慢 效 应 ( 图 8 4 ) 两 者 的相 同点 是 被 比 较 的两 钟位 于引力 势不 同 的两地 ； 区别在 于 ， 图 8 4 的两 钟都 是静 态钟 ， 可 以认 为两 钟没 有相 对速 度 ， 钟 慢 效 应完 全 由引 力势 的不 同所 导 致 ， 所 以可 称 为 纯 粹的引力钟慢效应 ； 而 图 8 1 8中有一个钟( 坍缩星 表 面的钟 ) 并 非静 态 ， 可 认 为两 钟 有 相 对 速度 ， 除 引 力钟 慢效 应 之外还 应叠 加 一个 “ 动 钟 变慢 ” 效应 ， 与 G P S情 况类 似 有人 问 ： 图 8 1 7和 8 1 8中 的外 向 光子 的速 率 是 多少 ?还 会等 于 c吗 ?如果 听到 “ 不 等 于 C ” 的答 案 ， 就 会 说 ： 岂不 是 违 反 光 速 不 变 原 理 了 吗? 本 书 6 2对这 一 问题