集列的上下极限

《集列的上下极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《集列的上下极限（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、- 2 7 7 -记A =, B, 设x A , 则由上极限定义, 对任意取定的n , 总有m n , 使xAm, 即对任意的n , 总有，故x B ; 反之, 设x B , 则对任意的N 0 总有, 即总存在m （m N ） , 有x Am, 所以x A , 因此A = B , 即。下面证明（1 ）与（3 ）等价。记A =, B, 设x A , 则由上极限定义, 存在无穷多个n , 使得x An, 不妨设为An 1, An 2, , An k, , 其中nknk + 1, 也即对任意的自然数 n , 存在 nk n , 使得, 故x B ; 反之, 设x B , 即对任意的自然数n , 总有

2、, 从而有无穷多个m , 使得x Am, 所以x A , 因此A = B , 即 。由上下极限定义可知, 上下极限中的点是属于无穷多个集合, 下极限中的点还要求不属于前面有限个集合, 即。特别的，当=，则称集列 An 收敛，将这一集称为 An 的极限，记 为。下面我们就应用上下极限的定义来解决求集列的上下极限。例1 1 设A n是如下一列点集：求 An 的上下极限。 分析: 因为题给的集列是有表达式的,所以用第三个定义，利用令m , 所得的集合交运算与和运算后， 得出来三个集合，分别是 0 , 1 , 0 , 2 ） ,（1 , 2 ） 再结合原始定义对这三个集合中元素和集合端点分别讨论即可。

3、解: 因为闭区间 0 , 1 中的点属于每一个An, n = 1 , 2 , 3 , , 而对于开区间（1 , 2 ）中的集列的上下极限焦淑云 信阳师范学院数学与信息科学学院 4 6 4 0 0 0摘 要集列的上下极限是实变中的一个难点。文章就对其理解给出三个等价定义证明，对集列的上下极限的内涵有了更深刻的认识，并通过例题的分析，阐明了怎样用定义求上下极限。最后，讨论了上下极限在研究函数收敛性方面的应用。关键词集列; 上极限; 下极限1 引言集合论是实变函数的基础，不少实变教材都以集列的极限集作为其他基本定理的出发点来推导的，可见集合分析法在实变基础理论中的重要性。下面我们就集列的上下极限定义

4、着手，结合例子，进一步揭示集列上下极限的实质与内涵，讨论集列上下极限在研究函数性质方面的应用。 2 集列的上下极限的概念定义1 1 设A1, A2, ，An, 是任意一列集，由属于上述集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上极限集，记为或; 由除有限个下标外，属于上述集列中每个集的那种元素全体所组成的集称为这一集列的下极限集, 记为或。下面给出上下极限集三种等价的表述及其证明。（1 ）= x | 存在无穷多个An, 使x An ,1 x | 当n 充分大以后都有x An ;（2 ）= x | 对任意N0 , 存在一个n , n N 使x An , x | 存在N ( x )

5、,当n N ( x ) 时, 有x An ;（3 ）,。证明：仅就上极限集的情形证明。由（2 ）与（3 ）等价,（1 ）与（3 ）等价来证,现证（2）与（3）等价。点x , 必存在自然数N ( x ) , 使得当时,，即当n N ( x ) 时, 但x A2 n + 1, 换句话说，对于开区间（1 , 2 ）中的x , 具有充分大的奇数指标的集都含 x ，即 An 中有 无穷多个集合含x ，而充分大的偶数指标的集都不含x , 即 An 中不含x 的集不会有 有限个。 又区间 0 , 2 ） 以外的点都不属于任何 An，因此= 0 , 2 ） ,= 0 , 1 .3 集列的上下极限的应用实变中叶

6、果洛夫，黎斯定理的证明常常是构造集合, 利用集列的上下极限来解决的. 另外, 集列的上下极限还可以把集合中收敛的点集表示出来。例2 1 设f ( x ) , fn( x ) ( n = 1 , 2 , ) 是定义在区间 , b 上的实函数， k 为正整数， 证明 :是E 中使得fn( x ) 收敛于f ( x ) 的点集.证明: 记A 为E 中使得fn( x ) 收敛于f ( x )的点集。也就是说，对任意的x A , 任意的k , 存在N , 使得n N 时，,因此，由下极限定义，.由 k的任意性和可列个集合交的定义 ， 得。反之, 对任意的,对任意 0 ,存在 k0, 使得,由可知存在N

7、, 使得 n N下转第2 8 1 页- 2 8 1 -偏离误差j:( 公式4 )总偏离误差:( 公式5 )P C B P 算法伪代码:2 3实验描述下面以一组随机生成的1 0 个( ( 0 , 1 ) 间的二维数据集合为例来分析聚类性能。令待聚类的数X = ( 0 . 4 4 , 0 . 2 8 ) , ( 0 . 0 5 , 0 .4 2 ) , ( 0 . 7 7 , 0 . 3 1 ) , ( 0 . 4 1 , 0 . 9 9 ) ,( 0 . 7 2 , 0 . 8 3 ) , ( 0 . 9 7 , 0 . 4 2 ) , ( 0 . 1 8 , 0 . 8 0 ) , ( 0 .

8、 4 2 ,0 . 0 2 ) , ( 0 . 1 4 , 0 . 6 2 ) , ( 0 . 9 8 , 0 . 0 3 ) , 按排列顺序分别定义为X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9, X1 0; 令: k = 3 ; R = 0 . 3 5 ; Po= 0 . 4 ; 0= 0 . 6 。随机设置初始聚类中心为 X2，X5,X8。然后分别利用K - m e a n s 算法和P C B P 算法寻找最优的聚类结果。可以得出，P C B P算法所得到的偏差值低于K - m e a n s 算法所得到的最终结果，同时也在一定程度上证明了这种算法是合理的。3结

9、论蚁群聚类算法最大的特定是：不需要设定最终产生的簇的数目，簇的中心是动态变化且可以发现任意形状的簇。本节提出是基于信息素的K - m e a n s 改进算法，利用了蚁群分布式搜索的特性，来改善传统的K - m e a n s 算法常常易于陷入局部最优的缺陷。表1 1 0 个二维随机样本的三种聚类结果对比参考文献 1 张惟皎， 刘春煌， 尹晓峰. 蚁群算法在数据挖掘中应用研究. 计算机工程与应用.2 0 0 4 . 4 0 ( 2 8 ) : 1 7 1 一1 7 3 . 2 高尚， 杨靖宇， 吴小俊. 聚类问题的蚁群算法. 计算机工程与应用. 2 0 0 4 . 4 0 ( 8 ) :9 0

10、 - 9 2 . 3 杨燕， 靳蕃， M K a m e l . 一种基于蚁群算法的聚类组合方法 J . 铁道学报. 2 0 0 4 , 2 6( 4 ) : 6 4 - 6 9 4 刘波. 一种利用信息嫡的群体智能聚类算法 J . 计算机工程与应用， 2 0 0 4 , 3 5 :1 8 0 - 1 8 2 5 马军建，董增川，王春霞，等. 蚁群算法研究进展 J . 河海大学学报， , 2 0 0 5 , 3 3( 2 ) : 1 3 9 - 1 4 3 作者简介 王鹤，女，1 9 7 8年生，辽宁工程技术大学 实验实训中心 讲师，硕士生，主要从事计算 机基础教学和研究工作。时, 即,所以,

11、 也就是说, x 为E 中使得fn ( x ) 收敛于f ( x ) 的点, 即x A . 从而A=。从上题还可以知道E 中使得fn( x ) 不收敛于f ( x ) 的点集可表示为。上接第2 7 7 页参考文献 1 程其襄, 张奠宙, 魏国强等. 实变函数与泛函分析基础 M . 第二版. 北京: 高等教育出版社. 1 9 8 3 . 1 1 - 1 3 2 郑维行, 王声望. 实变函数与泛函分析概要( 第一册)M . 第2 版. 北京: 高等教育出版社. 1 9 8 9 . 作者简介 焦淑云，硕士，助教，研究方向：小波分析参考文献 1 曾文曲、王向阳分形理论与分形的计算机模拟 M 沈阳：东北

12、大学出版社.2 0 0 1 ：1 0 2 - 1 2 2 . 孙博文 分形算法与程序设计 M 北京：科学出版社. 2 0 0 4 ：1 1 7 - 1 1 8 ，1 2 7 - 1 2 9 . 李庆扬, 王能超, 易大义 数值分析 M 武汉：华中科技大学出版社2 0 0 2 ：1 5 8 - 1 5 9 4 . 华中科技大学数学系 复变函数与积分变换 M 北京：高等教育出版社2 0 0 3 ：1 3 - 1 5上接第2 7 9 页步骤 7 如果（M为事先设定的逃逸边界值） ，若满足条件，则根据此结果设计颜色在屏幕上打点，并终止迭代转步骤 9 ；否则执行步骤 8； （注：）采用此种方式绘制的分形图形无穷无尽，再也不必因为找不到f ( z ) = 0 的根值z*烦恼，摘选部分效果如图。结束语上述分形图像有着非常明显的几何意义，为复平面上的函数提供了新的解释，同时也给我们带来了美的享受。分形图像有着非常广泛的用途，例如可以制作成各种尺寸的装饰画（用卡纸装裱，可获得很好的装饰画效果） ；用作包装材料图案，效果新颖；还可以制作成各种尺寸的分形挂历、台历、贺卡等等。