抽彩方案设计的市场激励反馈模型抽彩方案设计的市场激励反馈模型摘摘 要要 本文通过分析彩票管理部门和购彩潜在市场相互制约的辩证关系，综合考 虑了抽彩方案设计的策略对彩民的激励、购彩市场设计方案的反馈作用建立 了评判彩票抽奖方案合理性的市场激励反馈模型该模型假设购彩人数服从二 项分布，利用逻辑斯蒂模型将各种影响因子综合到二项分布的成功概率之中 并利用层次分析法合理的确定了各种购彩影响因子的权值同时利用多项分布 的有关结论，成功计算了买方的期望收益 整个总收益模型综合考虑了彩票管理部门的单注平均收益期望和彩票销售 规模的共同作用因为中各等奖的人次数为随机变量，建模时要用概率论的方 法给出单注平均收益期望的表达式，再经过 MATLAB 的计算得出其随彩票发 行规模变化的曲线再结合销售规模的概率分布，计算出每个待评定方案的总 收益期望值进行比较，以确定最佳方案 销售规模的确定关键在于该方案对彩民的激励策略因素我们根据对彩民 心理的定性分析，得到影响刺激策略因素的主要指标然后在前面单注平均收 益期望模型的基础上，计算出总收益期望与刺激策略因素的关系曲线根据 LOGIST 模型，将激励策略因素用主要指标加权表示。
再根据层次模型，确定 各指标的权值这样，激励策略因素就是指标的函数对于不同的方案计算出 指标后，就可以确定刺激策略因素值，最终得到相应方案的彩票管理机构总收 益期望的确定值仅仅比较这个值的大小，就可以简单的确定方案的优劣 然后，根据这个近似实际情况的模型，求取总收益最大时的影响刺激策略 因素的指标，就可以评价和得到更优的方案 利用本模型，容易计算设计出新有更大效益的抽采方案一一.问题的提出问题的提出近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩 民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型 “传统型”采用“10 选 6+1”方案：先从 6 组 0~9 号球中摇出 6 个基本号 码，每组摇出一个，然后从 0~4 号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码投 注者从 0~9 十个号码中任选 6 个基本号码（可重复） ，从 0~4 中选一个特别号码， 构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级以 中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X 表示未选中的号码） 表一 10 选 6+1（6+1/10）中 奖 等 级 基 本 号 码 特 别号码说 明一等奖abcdef g选 7 中 （6+1） 二等奖abcdef 选 7 中（6） 三等奖abcdeX Xbcdef 选 7 中（5） 四等奖abcdXX XbcdeX Xxcdef选 7 中（4） 五等奖abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选 7 中（3） 六等奖abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选 7 中（2）“乐透型”有多种不同的形式，比如“33 选 7”的方案：先从 01~33 个号 码球中一个一个地摇出 7 个基本号，再从剩余的 26 个号码球中摇出一个特别号 码。
投注者从 01~33 个号码中任选 7 个组成一注（不可重复） ，根据单注号码与 中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序又如“36 选6+1”的方案，先从 01~36 个号码球中一个一个地摇出 6 个基本号，再从剩下的30 个号码球中摇出一个特别号码从 01~36 个号码中任选 7 个组成一注（不可 重复） ，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑 号码顺序这两种方案的中奖等级如表二表二注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码表三 序号奖项 方案一等奖 比 例二等奖 比 例三等奖 比 例四等奖 金 额五等奖 金 额六等奖 金 额七等奖 金 额备 注16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%300205按序46+1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%300305 66+1/2960%25%15%200205 77/3065%15%20%50050155 87/3070%10%20%20050105 97/3075%10%15%20030105 107/3160%15%25%500502010 117/3175%10%15%320305 127/3265%15%20%5005010 137/3270%10%20%5005010 147/3275%10%15%5005010 157/3370%10%20%600606 167/3375%10%15%50050105 177/3465%15%20%500306 187/3468%12%20%50050102 197/3570%15%15%300505 207/3570%10%20%500100305 217/3575%10%15%100010050533 选 7（7/33）36 选 6+1（6+1/36）中 奖 等 级基 本 号 码 特别号 码说 明基 本 号 码 特别号 码说 明一等奖●●●●●●● 选 7 中（7）●●●●●● ★选 7 中 （6+1） 二等奖●●●●●●○ ★选 7 中 （6+1）●●●●●● 选 7 中（6）三等奖●●●●●●○选 7 中（6）●●●●●○ ★选 7 中 （5+1） 四等奖●●●●●○○ ★选 7 中 （5+1）●●●●●○ 选 7 中（5）五等奖●●●●●○○选 7 中（5）●●●●○○ ★选 7 中 （4+1） 六等奖●●●●○○○ ★选 7 中 （4+1）●●●●○○ 选 7 中（4）七等奖●●●●○○○选 7 中（4）●●●○○○ ★选 7 中 （3+1）227/3580%10%10%20050205 237/35100%20002042无特别号246+1/3675%10%15%500100105 256+1/3680%10%10%50010010 267/3670%10%20%50050105 277/3770%15%15%150010050 286/4082%10%8%200101 295/6060%20%20%30030以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的 50%，投注者单注金额为 2 元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。
现在常见的销售规则及 相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖 低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额 60 万元，封顶金 额 500 万元，各高项奖额的计算方法为： [(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例 （1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和 奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性 （2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出 建议 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考二二.基本假设基本假设彩民购买彩票是一种十分复杂的随机行为，但是经过分析后可以认为如下的 假设仍然是合理的： (1) 彩民购买彩票及抽彩时抽取某一号码的行为是随机的，即购买各号码 奖票的概率是相等的，抽取各号码奖票的概率也是相等的 (2) 为简化模型起见，先只考虑采用高额奖无滚存方式，即本期未中的高 额奖金额不记入下一期奖金中 (3) 奖金支付占总额比例被规定为 50％ (4) 如果由于某种原因（如发行量过低而中奖率又很高）造成发放奖金的 支出超过了本次发行量金额的 50％，则有风险金来补偿。
三三.符号约定符号约定N 某期彩票售出的总注数 T 总共发放奖金的实际金额 i 奖金等级 （i= 1，2…6，7） Mi 低项奖的固定奖金金额（例如 i＝4，5，6，7） Bi 高项奖的分配比例（例如 i＝1，2，3） Ti 在某次抽奖中 i 等奖总共发放奖金金额 Q 某种彩票的连续发行的期数 Ni 某期彩票开奖后中 i 等奖的实际人数 Pi 根据抽奖方案得到的中 i 等奖的古典概率Pr 中奖面（中各等奖的概率之和） S(N) 某抽彩方案的每注平均收益率函数，和彩票售出总注数 N 有关 H 最高奖金的数额 Np 潜在的购买人次 S0 彩票管理机构的总收益 p 潜在购买者购买某期彩票的概率 r 拟返还彩民的总奖金数占总销售额的比例，定为 50% 四四.问题分析问题分析彩票的买卖和抽取关系到两方面：彩票管理机构和彩民彩票管理机构要 求多集资，即销售收益最大化；而彩民希望中奖，特别是中大奖彩票管理机 构通过多种激励策略（即抽彩方案）刺激彩民购买彩票，而彩民的购买行为服 从某种市场机制，通过左右彩票的销售额，影响彩票管理机构的抽彩结果和总 收益额。
我们可以用如下的结构来描述彩票发行的相关机制(图一)：图一 彩票管理部门与彩民的相互关系图由于彩民购买彩票、彩票管理部门抽取彩票的行为都已假定为等概率的随 机事件，则抽彩结果的统计特性仅由抽彩方案决定要评价一个抽奖方案的优 劣，就需要考虑到彩民与彩票管理机构双方的需求 对于彩票管理机构来说，关注的是长期收益和每注收益率以及发行风险， 希望总收益金额和每注收益率越高越好；同时希望发行风险尽可能的低由于 奖金支付占总额比例被规定为 50％，因此总收益金额随发行量 N 的增长而增长 而发行风险则与彩票的抽彩方案和彩票发行量 N 有关；对于一个较好的抽彩方 案而言，一般发行量越大着发行风险也将越低 而对于彩民来说，一般更关注彩票抽彩方案中的最高奖金额、中奖面、返 还率的因素这些因素将直接影响到彩民购买彩票的积极性，从而决定购买奖 票的总人数 N 和彩票管理机构最终盈利的金额；同时也将影响彩票管理机构关 心的发行风险 也就是说，彩票管理机构和彩民之间是相互影响，他们的需求是对立统一 的因此，我们将彩票管理机构的收益作为评价一种抽奖方案的合理性是合适 的特别是发行机构的总收益综合反映了机构与彩民对同一方案的满意程度， 比较接近实际的情况，也作为我们衡量的最终标准。
彩民彩票管理部门最大期望收益市场机 制激励策 略关系如下图二所示：图二 抽彩方案与发行机构总收益关系五五.模型的建立与求解模型的建立与求解1、模型一：简化模型（、模型一：简化模型（N 固定）固定）给定抽奖人数 N, 设 1~7 等奖的人数、未中奖的人数为 N1，N2，… N8，则 在本文的假定下， （N1，N2，… N8）服从多项分布多项分布的具体定义定义一：（多项分布）X=是多项随机变量，具有概率向量),,(1tXX p=(p1,……,pt)，假定 Xi取非负整数值，其和为 N(固定的)，且有 tiix i ttrxpNxXxXPi111!!],,[其中 pi>0 且用p)表示这个多项分布当 t=2 时，这个分布简 tiip11,(Nt化为二项，它写成p)，具有 p=(p，q)NB 多项分布是具有渐进正态性的，即当 N 充分大时，可以用多元正态分布来近似描述多项分布[3]因此，服从从多项分布（N1，N2，… N8）的随机向量当总人次 N 充分大可 以近似用多元正态分布来描述，这意味着其边际分布也是正态的，特别的 （N4，N5，… N7）的联合分布为正态，由正态分布性。