《排列组合问题的解答策略》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合问题的解答策略（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1排列组合问题的解答策略天门市高中复读中心 王克进一、排列组合综合应用的一般方法一、排列组合综合应用的一般方法在解决实际问题中，要认真审题，分清是排列还是组合，有序排列，无序组合。（1）直接法。对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，从特殊入手，先满足特殊元素或特殊位置，再满足其他元素或位置。（2）间接法（正难则反） 。对于某些排列组合问题，正面情况比较复杂，而反面情况比较简单，可先不考虑限制条件，计算出排列组合总数，再减去其反面情况的排列组合数。例 11 名老师和 4 名学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，共有多少种排法？解法 1：（特殊元素法）老师在中间的三个位置上任选一个位置的选法
2、有种，然后 41 3A名学生在剩余的位置上排列，排法有种，所以共有=72 种。4 4A1 3A4 4A解法 2：（特殊位置法）先安排两端站 2 名学生，有种方法，其余位置的排法有种2 4A3 3A方法，所以排法种数是=72 种。2 4A3 3A解法 3：（间接法）先把 1 名老师和 4 名学生全排法有种，老师排在两端排法有5 5A1 2A种，所以排法种数是=72 种4 4A5 5A1 2A4 4A二、常见的排列问题二、常见的排列问题1、含有特殊元素，特殊位置问题、含有特殊元素，特殊位置问题特殊优先法特殊优先法对于带有特殊元素、特殊位置的排列问题，一般应先考虑特殊元素、特殊位置，再考虑其他元素与
3、位置，即特殊优先法。2、相邻问题、相邻问题捆绑法捆绑法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将相邻的元素捆绑在一起看作一个“元” ，与其他元素排列，然后松绑对“元”内部元素排列。例 26 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）种。A、720 种 B、360 种 C、240 种 D、120 种解析： 选 C52 52240A A 3、 “小团体小团体”排列问题排列问题捆绑法捆绑法对于“小团体”排列问题，可先将“小团体”捆绑看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。例 36 名同学排成一列，甲乙之间恰好隔两人，有多少种不同排法？解：先从甲乙以外的 4 人中任选
4、 2 人排在甲乙之间的两个位置上有种，然后把甲、乙2 4A及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人全排有种方法，最后对甲乙进行排列有种方3 3A2 2A法。故共有=144 种2 4A3 3A2 2A4、不相邻问题、不相邻问题插空法插空法对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后将不相邻元素在已排好的元素之间和两端插入即可。2例 45 个男生和 3 个女生排成一排，要求女生不相邻且不可排在两头，共有几种排法。解：先排无限条件的 5 个男生有种排法，由于女生不相邻且不可排两头，故 3 个女生5 5A只能分别插在 5 个男生的 4 个空隙中有种。故共有=2880 种。3 4A5
5、5A3 4A5、定序问题、定序问题先排后除（或只选不排）先排后除（或只选不排）对于某几个元素顺序固定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后除以定序元素的全排；或先在总体位置中选出定序元素的位置不参加排列，然后对其他元素进行排列。例 55 人并排站成一排，甲必须站在乙的左边（甲乙可以不相邻） ，则不同的排法有多少种？解法 1：（先排后除）种5 5 2 260A A解法 2：（只选不排）=60 种23 53C A6、重排问题、重排问题先排后除（或只选不排）先排后除（或只选不排）含有相同元素重复排列的问题，可先把重复元素与其他元素一同排列然后用总排列数除以重复元素的全排列数，或在总体位
6、置中选出重复元素的位置不参加排列，然后对其他元素进行排列。例 6把拼成“success”这个单词的各字母作各种排列有多少种拼法？解法 1：（先排后除）种7 7 32 32420A A A解法 2：（只选不排）种322 742420C C A 7、分排问题、分排问题直排处理直排处理把 n 个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，要采取统一排成一排的方法处理，若每排有特殊要求，把每排首尾都连排成一排，只需分段考虑特殊元素，然后对其他元素作统一排列。例 79 人排成 3 行，每行 3 人，其中甲乙丙 3 人要排在同一行，有多少种不同排法？解：种136 33612960C A A 8、混合
7、问题、混合问题先选后排先选后排对于排列组合混合问题，先用组合选取元素，再进行排列。例 8从黄瓜、白菜、芹菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有（ ）种。A、24 B、18 C、12 D、6解：先选后排有种不同选法，不同种法有种，故不同种植方法有种，故2 3C3 3A23 3318C A 选 B。9、不到位问题及错位问题、不到位问题及错位问题容斥原理容斥原理3不到位问题：编号为 1，2，3n 的 n 个球放入编号为 1，2，3n 的 n 个盒子中，其中1，2，3m（mn）号球，不放入 1，2，3m 号盒子的放法种数为0( 1)()!
8、m rn m rCnr例 96 名同学排成一排，甲不站在左端，乙不站右端，有多少种站法。6154 6254504AC AA 错位问题：编号为 1，2，3n 的 n 个球放入编号为 1，2，3n 的 n 个盒子，则球号与 盒子全不相同的放法种数为：01111!( 1)!(1( 1)!1!2!n rnrnnrn例 10同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人写的驾年卡，则四张贺年卡不同分配方式有（ ）A、23 种 B、22 种 C、9 种 D、6 种 11114!(1)2424 124 191!2!3!4! 三、常见的组合问题三、常见的组合问题1、遇到、遇到“至少至少” 、 “最
9、多最多” “含含”等词要认真审题理解题意。等词要认真审题理解题意。例 11某球队有 2 名队长和 10 名队员，现派 6 人上场参加比赛，如果场上最少有 1 名队长，那么共有多少种不同的选法。直接法：种1524 210210714C CC C间接法：种66 1210714CC2、分组与分配有区别，分组只分成组，分配即先分组后分到人。、分组与分配有区别，分组只分成组，分配即先分组后分到人。3、分组问题、分组问题不均分组问题：由于各组数目都不相等，所以按组合数直接取。均分组问题：一般地将 km 个不同元素分成 k 组，每组 m 个元素的不同分法分法=(1) !mmm kmkmmCCCkk取法数部分
10、均分组问题：先将不均分的那一部分直接取出，然后将剩下部分均分组。例 12将 6 本不同的书按下列要求分成三份，各有多少种分法。 （1）分成三份，1 份 1本，1 份 2 本，1 份 3 本；（2）平均分成三份，每份 2 本；（3）分成三份，1 份 4 本，另两份各 1 本。解：（1） （2） （3）123 65360C C C 222 642153!C C C11 421 6152!C CC4、不同元素的分配按需分配即定人又定数直接取，也可先分组后分配。、不同元素的分配按需分配即定人又定数直接取，也可先分组后分配。例 13将 6 本不同的书按下列要求分给甲乙丙三人。 （1）甲得 1 本，乙得
11、2 本，丙得 3本；（2）平均分配给甲乙丙三人，每人 2 本；（3）甲乙丙三人中，一人得 1 本，一人得 24本，一个得 3 本。解：（1） （2）解法 1 解法 2123 65360C C C 222 64215C C C 222 3642 3153!C C CA （3）1233 6533360C C C A 5、相同元素的分配（指标、名额等）隔板法处理。、相同元素的分配（指标、名额等）隔板法处理。将 N 个相同的元素分成 k（Nk）个部分，每个部分至少含一个元素的分法为：先将 N个元素排成一排，在它们之间（N-1）个空隙中插入（k-1）个隔板，共有种插法，每一1 1K NC 种插法对应着一
12、种符合题意的分法；但若允许有组无元素，把（k-1）个隔板当作元素与 N 个元素并排成一排，从（N+k-1）个位置中选（k-1）个位置放隔板即可，分法为1 1K N kC 例 14方程有多少组正整数解。20xyz解：将 20 个 1 排成一排，在中间 19 个空隙中插入 2 个隔板有 分法：即有 171 组正整数解。2 19171C方程有多少组非负整数解。20xyz解：将 20 个 1 与 2 个隔板排成一排,在 22 个位置中选 2 个位置放隔板有 分法：即有 231 组非负整数解。2 22231C6、等价转化、等价转化将原组合问题转化成另一个问题，通过对新问题的研究达到解决原问题的目的。例 1510 级楼梯，要求 7 步跨完，且每步可跨 1 级或 2 级，问有多少种不同的跨法？解：设有 x 步跨 1 级，y 步可跨 2 级2104 73yxx xyy7 步中选 4 步跨 1 级，剩下 3 步跨 2 级所以共有种跨法4 735C 例 16某城市有 7 条南北向的街，5 条东西向的街，如果从城市一端 A 走向另一端 B， 最短的走法有多少条？ 解：问题等价转化为从 4+6=10 条街中选出 4 条街，设 a 表示一条东西走向的街，b 表示一条南北走向的街，问题等价于从 10 个空位中选出 4 个填 a，即有：4 10210CAB
