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1、35第十二章 概率与统计第十二章第十二章 概率与统计概率与统计第一部分 五年高考荟萃2009 年高考题一、选择题1.1.（0909 山东山东 1111）在区间1,1上随机取一个数x,cos2x的值介于 0 到1 2之间的概率为（ ）A1 3B2 C 1 2D 2 3【解析】在区间-1，1上随机取一个数 x,即 1,1x 时,要使cos2x的值介于 0 到21之间,需使223x 或322x213x 或213x，区间长度为32，由几何概型知cos2x的值介于 0 到21之间的概率为31 232.故选 A.答案 A2.(09.(09 山东文山东文) )在区间,2 2 上随机取一个数 x，cosx的值
2、介于 0 到21之间的概率为( ).A.31B.2C.21D.32【解析】在区间,2 2 上随机取一个数 x,即,2 2x 时,要使cosx的值介于 0到21之间,需使23x 或32x，区间长度为3，由几何概型知cosx的值介于 0 到21之间的概率为313.故选 A. 答案 A3.（0909 安徽卷理）安徽卷理）考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）A1 75B 2 75C3 75D4 75【解析】如图，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这A BCD EF356
3、 个点中任意选两个点连成直线，共有22 6615 15225CC种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有/,/,/,ACDB ADCB AEBF/,/,/AFBE CEFD CFED 共 12 对，所以所求概率为124 22575p ，选 D答案 D.（20092009 安徽卷文）安徽卷文）考察正方体 6 个面的中心，从中任意选 3 个点连成三角形，再把剩下的 3 个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于 （ ）A.1 B. C. D. 0 【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有3 6C个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为 1，选 A。
4、 答案 A5 5、 （2009 江西卷文）江西卷文）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（ ）A1 6B1 4C1 3D1 2【解析】所有可能的比赛分组情况共有22 424122!C C种，甲乙相遇的分组情况恰好有 6种，故选D. 答案 D6.（2009 江西卷理）江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（ ）A31 81B33 81C48 81D50 81【解析】5553(3 23
5、)50 381P故选 D答案 D7.（2009 四川卷文）四川卷文）设矩形的长为a，宽为b，其比满足ba618. 0215，这种35矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值 0.618 比较，正确结论是（ ）A.甲批次的总体平均数与标准值更接近B.乙批次的总体平均数与标准值更接近C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D.两个
6、批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【解析解析】甲批次的平均数为 0.617，乙批次的平均数为 0.613答案 A8.（20092009 辽宁卷文）辽宁卷文）ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为（ ）A4B14 C8D18 【解析】长方形面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为2因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为224取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为14答案 B.（2009 年上海卷理）年上海卷理）若事件E与F相互独立，且 1 4P EP F，则
7、P EFI的值等于（ ）A0 B1 16C1 4D1 2【解析】P EFI 11 44P EP F1 16答案 B二、填空题3510.（2009 广广东东卷卷 理理）已知离散型随机变量X的分布列如右表若0EX ，1DX ，则a ，b 【解析】由题知1211cba，061ca，1121211222ca，解得125a，41b.答案 11.（20092009 安徽卷理）安徽卷理）若随机变量2( ,)XN ，则()P X=_.答案 1 212.（20092009 安徽卷文）安徽卷文）从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_。【解析】依据四条边长
8、可得满足条件的三角形有三种情况:2、3、4 或 3、4、5 或2、4、5，故3 433 4PC=0.75. 答案 0.7513.（2009 江苏卷）江苏卷）现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m的概率为 . 【解析】 考查等可能事件的概率知识。 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8，2.6 和 2.9，所求概率为 0.2。答案 0.214.（2009 江苏卷）江苏卷）某校甲、乙两个班级各有
9、 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表： 学生1 号2 号3 号4 号5 号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为2s= . 【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。甲班的方差较小，数据的平均值为 7，故方差22222 2(67)00(87)02 55s 35答案 15.（2009 湖北卷文）湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。【解析】三人均达标为 0.80.60.5=0.24,三人中至少有一人达标为 1-0.2
10、4=0.76答案 0.24 0.7616.（20092009 福建卷文）福建卷文）点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB 的长度小于 1 的概率为 。【解析】如图可设1AB ,则1AB ,根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是2 3。 答案 2 31717 （2009 重庆卷文）重庆卷文）从一堆苹果中任取 5 只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127 则该样本标准差s （克） （用数字作答） 【解析】因为样本平均数1(125 124 121 123 127)1245x ，则样本方差2222221(1313 )4
11、,5sO所以2s 答案 2三、解答题18、 （2009 浙江卷理）浙江卷理） （本题满分 14 分）在1,2,3,9这9个自然数中，任取3个数（I）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；（II）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时的值是2） 求随机变量的分布列及其数学期望E解（I）记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A，则12 45 3 910( )21C CP AC； （II）随机变量的取值为0,1,2,的分布列为012P5 121 21 1235所以的数学期望为5112012122123E 19、 （2009 北京卷文）北京卷文）
12、 （本小题共 13 分）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1 3，遇到红灯时停留的时间都是 2 min.（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率. 解（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” ，所以事件 A 的概率为 11141133327P A .（）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B，这名学生在上学路上遇到
13、k次红灯的事件0,1,2kBk .则由题意，得 40216 381P B， 1322 12 142412321224,33813381P BCP BC .由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯” ，事件 B 的概率为 0128 9P BP BP BP B.20、 （2009 北京卷理）北京卷理） （本小题共 13 分）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1 3，遇到红灯时停留的时间都是 2min.（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.解 （
14、）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” ，35所以事件 A 的概率为 11141133327P A .（）由题意，可得可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：min）.事件“2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯” （k 0，1，2，3，4） ，4 41220,1,2,3,433kkkPkCk ，即的分布列是02468P16 8132 818 278 811 81的期望是163288180246881812781813E .21、(2009(2009 山东卷理山东卷理) )(本小题满分 12 分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得3分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得
