常见的三角变换

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1、1常见的三角变换常见的三角变换云南省曲靖市民族中学云南省曲靖市民族中学 李清江李清江 常见的三角变换有： 一、化切弦；二、升降幂变换；三、同角异弦变换；四、角的变换； 五、 “1”的变换；六、 逆用和（差）角公式；七、函数名的变换； 八、正切之和（或差）与正切之积的转化；九、同弦 异角、异角异弦平方相加；十、三角形中的边角关系. 下面逐一解析： 一、化切割为弦：一、化切割为弦：学过的公式多数是关于弦的，把切转化成弦，使问题由陌生变为熟悉.例：把 tan+化成弦三角函数.1tan解：tan+ = = = 1 tansin coscos sinsin2 + cos2 sincos1 1 2sin2

2、2 sin2练习0011.tan15tan1500求t an15及t an15的值二、升降幂（次）变换二、升降幂（次）变换 升降幂公式的推导与记忆：升幂：22cos,sin 1+cos1-cos推导：222221 coscossincossin2cos22222简易推导：1余弦，22222()()2cscsc推导：222221 coscossin(cossin)2sin22222简易推导： 1余弦22222()()2cscss特征：次数升 角取半 （升次降倍）口诀记忆：升幂：升幂： 1余弦把次升余弦把次升 化成半角平方弦，化成半角平方弦， “”取同名取同名“”异名异名 平方弦左边还要把平方弦左

3、边还要把 2 乘乘0sincos_ 1 cos40_sincos 1+如：化简1+0001 sin80_1 2sin10 cos10_= ;的值为 .0111111cos802222220203sin70 2cos 10 降幂：降幂：2211cos(1 cos2 )cos(cos21)22可记为2211sin(1 cos2 )sin( cos21)22 可记为推导：2222222111111coscoscos(1 sin)cos(cossin)222222简推：11cos222222221111(1)2222cccsc2211()22cs11cos2222222222111111sinsins

4、in(1 cos)sin(cossin)222222简推：11cos22222221111(1)2222ssscs2211()22cs11cos222特征：次数降 角乘 2 倍 （降次升倍）可用口诀记为：弦平方弦平方 把次降把次降 次作倍次作倍 余弦配余弦配 同名正同名正 异名负异名负 加加 1 取半就得出取半就得出1、化简（1）（答案： ）20220sin (60 )sinsin (60 )3 2（2） （答案： ）22222cos ()coscos ()333 22、|sin|cos|yxx求函数的周期和值域.3.求证：sincos11 sin sincos1cos 三、同角异弦变换：三、

5、同角异弦变换：（1） 、同角异弦之和：sincos2sin()4同角异弦之和等于把角加上后的正弦的倍；422（2） 、同角异弦之差:sincos=sin( ) ,cossin=cos(+ )2 42 4（）同角正弦、余弦之差：sincos= sin( )2 4同角正弦、余弦之差等于把角减去后的正弦的倍42（）同角余弦、正弦之差：同角余弦、正弦之差等于把角加上后的余弦的倍42（3） 、sincossin2同角异弦之积等于2倍角正弦取半. 即：（4） 、同角异弦平方和等于 1.即：22sincos（5）同角异弦和积转换：22(sincos)12sincos(sincos)1 2sincos 2(c

6、ossin)1 2sincos 22(sincos)11 (sincos)sincossincos2221 (cossin)sincos2练习：求函数的值域sin cossincos1yxxxx（6）同角异弦平方差：（）同角正、余弦平方差等于 2 倍角余弦的相反数；即：22sincoscos2 （）同角余弦、正弦平方差等于 2 倍角余弦.即：22cossincos2(7) 同角异弦的倍数和可化成一个角的一个弦三角函数22 2222cos0, sincossin(, sinaababababbab 当时其中, a b当是具体的数时，可直接用反正切来表示角453sincossin(arctan)5

7、cossin13sin(arctan)312 如：（3）同角异切之差：四、四、角的变换：由于在三角化简、求值与证明中，经常出现不同的角，从而构成解题的难点.所以，化“异 角”为“同角” ，就是化解难点的关键根据是角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解如：=-=，154530604530 2，()22 )-4(-24=，等)-()(2()-(- )442()()例：例： 的值是（ ） A.B.C.D. 70sin20sin10cos2 21 2332解：原式= 70sin20sin2030cos2）（=.答案：C. 70sin20sin20sin30sin

8、20cos30cos2）（ 20cos20cos33如：1、3sin,cos, cos(),_5xyxy 已知是锐角，可用把表示为2、3123,cos(),sin().sin2 .4135 已知：求23、21tan(),tan().tan()5444已知求的值.五、五、1“ ” 的变换：1、已知一个角的切三角函数值，要求这个角的弦二次齐次式的值，利用较方22=cossin1便；322222222sincos222sincoscos2tan2222sin2sincos22cossincossin1tan22222cos2 例：22221tan2coscossin221tan2 练习：（1）已知，

9、求下列各值：sin3cos （）sin2; ()2()2cos2- 3sin2; ()() sincos; ()(); ;4sincos 2sin3cos ()() (sin+ +cos)2 ()() 21 2sincoscos（2） 、226sinsincoscos(, ,sin(2).23 已知求的值（3） 、已知： ，求的值.11tantan2cossinsin22.有时还会要用到 1，如：045tan，0 0 01tantan45tantan(45)1tan1tan45 tan0 0 01tantan45tantan(45)1tan1tan45 tan000 000 0001tan15

10、tan45tan15tan(4515 )tan6031tan151tan45 tan15六、逆用和（差）角公式：六、逆用和（差）角公式：0 00 01tantan45tantan(45)cot(45)1tan1tan45 tan0 00 01tantan45tantan(45)cot(45)1tan1tan45 tancos()cossin()sincos()cos如：000 000 0001tan15tan45tan15tan(4515tan6031tan151tan45 tan15)=，22cossin12123 200000002sin32 cos13cos32 sin13sin(321

11、3 )sin452练习1.的值域是 . 2.34cossin55yxx).10tan31 (50sin化简3.的值求 15sin15cos15sin15cos七、函数名的变换七、函数名的变换 要把一个函数名改变成它的余函数，通常是借助纵轴上的一个角加上（或减去）这个角.一个 角的三角函数等于 一 个 y 轴上的角加上（或减去）这个角的余函数或这个余函数的相反数.sincos(cos( 33cos(cos( 33cos(cos(cos(cos( 33cossin(sin(sin(sin( 33sin(sin(sin(sin( 例：例：为了得到函数 y=cos(x+)的图象，只需将函数 y=sin

12、x 的图象（ ）3A. 向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 6 6C. 向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度5 65 6分析：分析：y=cos(x+)与 y=sinx 函数名不同，要先化成同名，可以保留形式简单的3y=sinx，将 y=cos(x+)化为 y=sin(+x+)= sin(x+). .3 235 64y=sinx 的图象 y= sin(x+).的图象 选 C.5 6练习练习1.已知且，则下列正确的是 （ ）,(0,),2 2、 、 、 、coscossinsinsincoscossin2.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）cos(2)3yxsin2yxA.向

13、左平移个单位 B. 向右平移个单位5 125 12C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 选 A5 65 6八、正切之和（或差）与正切之积的转化；八、正切之和（或差）与正切之积的转化；tantantan)tantantan)(1tantan)1tantan(tantantan)tantantan)(1tantan)1tantan(练习1.0000tan40tan203tan40 tan20化简 2.0000tan20tan25tan20 tan25化简 3.0000tan55tan10tan55 tan10化简 九、同弦异角、异弦异角平方和的变换：九、同弦异角、异弦异角平方和的变换：22( coscos )( sinsin )axbyaxby222