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1、- 1 -皖南八校 2011 届高三第一次联考数学试题(理科)考生注意: 1本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分 100 分,考试时间 100 分钟。 2答题前,请考生务必将答题纸左侧密封线内的项目填写清楚。请考生按规定用笔将 所有试题的答案涂、写在答题纸上,在试题卷上作答无效。第 I 卷 (选择题 共 50 分)一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。1已知全集 U=R,集合2 | (1)4Axx,则UC A等于( )A |13x xx 或B |13x xx 或C | 13xx D | 13xx
2、 2设复数2221,zizz 则等于( ) A1i B1iC12i D12i3命题“对任意直线 l,有平面与其垂直”的否定是( ) A对任意直线 l,没有平面与其垂直 B对任意直线 l,没有平面与其不垂直C存在直线0l,有平面与其不垂直D存在直线0l,没有平面与其不垂直4已知等比数列,54431,31,21,nnanSqSaSa的前项和为公比若则 q 等于( ) A2B2C3D15设点 P 是双曲线22221(,0)xyabab与圆2222xyab在第一象限的交点 F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且12|2|PFPF,则双曲线的离心率为( )- 2 -A5B5 2C10D10 26若变量,
3、 x y满足约束条件20 0 1xy xy y ,则目标函数2zxy的最大值为 ( )A3B3C1D17有一种波,其波形为函数sin()2yx的图象,若在区间0, t上至少有 2 个波峰(图象的最高点) ,则正整数t的最小值是( ) A3B4 C5D68如右图程序框图,若输出63p ,则输入框应填入A6i B5i C4i D3i 9若函数( )( , )yf xa b的导函数在区间上不是单调函数,则函数( )yf x在区间 , a b上的图象可能是( )ABCD 10考察底为等腰直角三角形的直三棱柱的 9 条棱,甲从这 9 条棱中任选一条,乙从这 9 条 棱中任选一条,则这两条棱互相垂直的概率
4、为( )A22 81B37 81C44 81D59 81第卷 (非选择题 共 100 分)二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置。11已知向量(2, 1),( , 2),( 1,3),( , ) / / ,abxca bcx 若则= 。- 3 -12在二项式33()nxx的展开式中,各项的系数和比各项的二项系数和大 240,则n的值为 。13在平面直角坐标系xOy中,以 O 为极点,x轴正半轴为极辆,取相同的长度单位,建立极坐标系,则直线cos()23被圆22cos(2sinx y 为参数)截得的弦长为 。 14一个几何体的三视图及其尺寸如右图
5、所示,其中正 (主)视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆, 俯视国科是等腰三角形,则这个几何体的表现积是cm2。15若定义域为 R 的奇函数( )(1)( )f xfxf x 满足,则下列结论:( )f x的图象关于点1( ,0)2对称;( )f x的图象关于直线1 2x 对称;( )f x是周期函数,且 2 个它的一个周期;( )f x在区间(1,1)上是单调函数,其中正确结论的序号是 。 (填上你认为所有正确结论的序号)三、解答题;本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16 (本小题满分 12 分)在ABC,角 A,B,C 的对边分别为, , ,()a
6、 b cAB ACCA CBk kR 若。(1)判断ABC的形状;(2)若1,kb求的值。- 4 -17 (本小题满分 12 分) 甲乙两个盒子里各放有标号为 1,2,3,4 的四个大小形状完全相同的小球,从甲 盒中任取一小球,记下号码x后放入乙盒,再从乙盒中任取一小球,记下号码y,设随机变量|.Xxy(1)求2y 的概率;(2)求随机变量 X 的分布列及数学期望。18 (本小题满分 12 分)在如图所示的空间几何体中,平面ACD 平面 ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE 和平面 ABC 所成的角为 60,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在ABC的平分线上。(1)求证:D
7、E/平面 ABC;(2)求二面角 EBCA 的余弦;(3)求多面体 ABCDE 的体积。19 (本小题满分 13 分)在数列* 1112 ,1,1,421nnn nnaaabnNaa 中其中。(1)求证:数列 nb是等差数列,并求数列na的通项公式na;- 5 -(2)设12nnncna,求数列 nc的前n项和。21 (本小题满分 13 分)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为1 2,且椭圆 E 上一点到两个焦点距离之和为 4;12,l l是过点 P(0,2)且互相垂直的两条直线,1l交 E 于 A,B 两点,2l交 E 交 C,D 两点,AB,CD 的中点分别为 M,N
8、。(1)求椭圆 E 的方程;(2)求1l的斜率k 的取值范围;(3)求OM ON 的取值范围。21 (本小题满分 13 分)已知函数2 ( ), ( )2 ln (xf xg xax ee为自然对数的底数)(1)求( )( )( )F xf xg x的单调区间,若( )F x有最值,请求出最值;(2)是否存在正常数a,使( )( )f xg x与的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处- 6 -有共同的切线?若存在,求出a的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在, 请说明理由。参考答案15BDDAA 610BCCDC11-1 124 132 3 142 22 1516解:(1),cos ,c
9、os,AB ACCA AB ACcbA CA CBbaC coscosbcAabC根据正弦正理,得sincossincosCAAC即sincoscossin0,sin()0ACACAC(2)由(1)知ac由余弦定理,得2222 cos22bcabAB ACbcAbcbc 1AB ACk 2 1,2.2bb得12 分17解:(1)(2)(2,2)(2,2)P yP xyP xy12311 454544分(2)随机变量 X 可取的值为 0,1,2,35 分当 X=0 时,( , )(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)x y 121212122(0)454545455P X当 X=1 时,
10、( , )(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)x y 1111111111118(1)45454545454510P X- 7 -同理可得11(2); (3)510P XP X随机变量 X 的分布列为 X0123P2 53 101 51 1010 分 231101231510510EX 12 分18解:方法一:(1)由题意知, ,ABCACD都是边长为 2 的等边三角形,取 AC 中点 O,连接 BO,DO,则,BOAC DOAC平面 ACD平面 ABC DO平面 ABC,作 EF平面 ABC, 那么 EF/DO,根据题意,点 F 落在 BO 上,60EBF,
11、易求得3EFDO所以四边形 DEFO 是平行四边形,DE/OF; DE 平面 ABC,OF 平面 ABC, / /DE平面 ABC4 分(2)作 FGBC,垂足为 G,连接 FG; EF 平面 ABC,根据三垂线定理可知,EGBC EGF就是二面角 EBCA 的平面角 1sin2FGBFFBG22133,2EFEGEFFG13cos13FGEGFEG即二面角 EBCA 的余弦值为13.138 分(3)平面 ACD平面 ABC,OBAC OB平面 ACD;又/ /DEOB DE平面 DAC,三棱锥 EDAC 的体积111333 ( 31)333BACVSDE- 8 -又三棱锥 EABC 的体积2
12、1133133ABCVSEF多面体 DEABC 的体积为 V=V1-V2=63 312 分方法二:(1)同方法一(2)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,可求得平面 ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n ,平面 BCE 的一个法向量为2( 3, 3,1)n 所以12 1212cos,| |nnn nnn 13 13又由图知,所求二面角的平面角是锐角,所以二面角 EBCA 的余弦值为13 13(3)同方法一19解:(1)证明:1 122 2121nn nnbbaa *42222()12121212(1)14nnnnnanNaaa a数列 nb是等差数列3 分11 121,221aba 2(
13、1)22nbnn由*221,21()21nn nnbanNabn 得1 2nnan6 分(2)由(1)的结论得11,2(1) 22nn nnnnacnann7 分1232 23 24 2(1) 2nnSn 8 分234122 23 24 22(1) 2nn nSnn ,9 分- 9 -,得12312 2222(1) 2nn nSn111222(1) 22,nnnnn 11 分12nnSn12 分20解:(1)设椭圆方程为22221(0)xyabab由2221 22243c aaababc得椭圆方程为22 143xy4 分(2)由题意知,直线1l的斜率存在且不为零121:2,:2.lykxlyxk 由22 143 2xyykx 消去y并化简整理,得22(34)1640kxkx根据题意,22(16 )16(34)0kk 解得21.4k 同理得22211111(),4,4,( 2,)( ,2)4422kkkk 9 分(3)设112200(,), (,),(,)A x yB xyM xy那么12 12022168,23434xxkkxxxkk 002226862,(,)343434kykxMkkk同理得 2218()6(,)1134()34()k