数学思想方法及其教学

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1、数学思想方法及其教学叶立军杭州师范学院理学院Date1*基础教育改革：寻找解决教学问题 的大策略成为明显趋势。*21世纪国际教育委员会认为：教学 质量和教师素质的重要性无论怎样 强调都不过分。引言Date2一、为什么要谈数学思想方法1、从数学思想方法的意义看 2、从当前数学课堂教学现状看Date3从数学思想方法的意义看21世纪是“知识经济时代”，国际竞争是“ 创新能力”的竞争，高科技的竞争，若把“高 科技”比作皇冠的话，数学就是皇冠上的一颗 明珠。就是说要培养21世纪高科技创新人才 ，首先应培养具有创新思维能力的“数学王子 ”。在数学教育中，学生掌握科学的思维方法 是成为创造型人才的基础，是培

2、养高科技研 究型人才、迎接新世纪国际高科技挑战的比 由之路。 Date4思维是事物的本质属性和内部规律 性在人脑中的反映，它是智力的核心， 而小学数学的一个重要任务就是要培养 学生实际操作能力的基础上训练和培养 学生的思维能力。 Date5从当前数学教学现状看多年来，我国小学实现依然存在时费低效 的现象，表现在教师讲解例题多，学生套题 解为多，对复杂化的题型束手无策，更谈不 上创造性地解决实际问题。究其实质，是思 维训练没有到位，从思维方法训练的角度得 到反省，过去教师过分看重思维结果，偏重 灌输，忽视学生思维过程的展示，以及错误 思维过程的暴露，必须导致思维训练走过场 ，教师讲的头头是道，学

3、生解题摸不着门道 的被动局面，只有让学生经历思考过程，获 得思维方法，才能真正内行为经验和知识， 形成能力。 Date6课堂教学应试为主教学目标定位偏低 巩固知识 熟练技能 教学内容肤浅狭窄 已知知识 浮于浅表 局限课本 固守单科 教学过程预设过多 严密周到 强迫牵制 被动跟随 教学方式讲授演绎 教师讲析 师生问答 学生活动虚浮异化 有形无实 效度不高 机械练习 Date7数学新课程标准的要求“帮助学生学会基本的数学思想方法” 是新一轮数学课程改革所设定的一个基 本目标。以国际上的相关研究为背景， 对小学数学教学中如何突出数学思维进 行具体分析表明，即使是十分初等的数 学内容也同样体现了一些十

4、分重要的数 学思维形式及其特征性质。Date8理论依据数学教学主要是数学思维的教学，而不 是单纯的数学知识的教学，要加强数学基础 知识教学的同时，培养学生的数学能力，掌 握数学思考方法，因此小学数学教学要有重 大突破，就在于小学生思维发展的研究。这 一教学原则改变了我们“满堂灌”，“注入式”的 教学方法，着眼于学生的思维的训练。给学 生“思考”的机会，指导学生思维方法，使其 形成良好的思维品质。Date9教学从现代教育观点看：当前的数学教学偏重书本 知识和双基训练，缺少对学生学习情感、态度以 及个体差异的关注，忽视研究性学习和实践活动 。在学生的创新意识和实践能力的培养方面，与 发达国家相比，

5、差距十分明显。有学者指出，按 照知识的外在程度，新经济时代把知识分为外显 部分与内隐部分，它们构成一个冰山模式，前者 浮出海面，后者在下托起整个冰山。后者就是内 隐部分，即智慧、情感和态度，它深深地嵌入于 实践之中。人的创新精神和实践能力主要依赖于 内隐部分。只有通过在行动中学习，才能达到培 养和提高的目的。当前数学教育的现状呼唤着符 合时代要求的新数学课程的诞生。 Date10知识的冰山模型明确知识（是什么、为什么） 主要是事实和原理的知 识存于书本，可编码（逻辑性 ）、可传递（共享性）、可 反思（批判性）默会知识 （怎么想、怎么做） 本质上是理解力和领悟 存于个人经验（个体性）、嵌入实践活

6、动（情境性）Date11 教学是两组主体间的作用系统从被动到互动尊重学生（需求、现状、发展可能 ） 要求学生（强调适切性）教师学生儒家文化：尊师重教 主导性主体发展性主体Date12从单一过程到复杂过程存于实践经验的 默会知识存于书本的 明确知识教师学生书本学习、行动学习、合作学习Date13在主导原则下取得新平衡是关键教改实践要有不走极端而达到顶尖的集其大成的智慧Date14国际著名数学教育家弗赖登塔尔称 之为“再创造”，他反复指出：学生学习 数学的唯一正确的方法是实行“再创造” 。数学教育家的教学原则，为我们阐明 了数学教育方法：就是在引导学生获取 知识时，为学生创造能够利用已有的感 性经

7、验和认识条件，为学生提供思维的 最近发展区，激发学生的求知欲望，诱 发学生的创造Date15基础知识与基本技能 双基的内涵与时代的发展 繁难偏旧的综合 过度形式化演绎问题Date16基础知识与基本技能这是美国许多学生在做分数加 减时所犯的错误，为此我们应该 考虑双基的内涵与时代的发展之 间的关系.Date171、从实物到算式的“数学化”过程-小学数学有余数的除法 73=2 1 Freudenthal研究所的达朗其(Jan de Lange,1996)在 ICME-8的大会报告中介绍了荷兰的一堂课：81名家长出席学 校家长会，每张桌子可坐6人，需要布置多少张桌子？一类 学生具体地摆桌子；第二类学

8、生经历了具体到形式的抽象； 第三类学生套用算式去做。实际上，三类学生中只有第二类 才真正体验到了“数学化”的含义。Date18问题(1)纠缠于区分等分除、包含除等枝节,未突出“有 余数”这个要点 习惯于程式化训练：3（ ）7括号里最大能填几？未关注试商的现实意义(3)表面地寻找规律16531175321853319534 余数(1、2、3、4）与除数（5）比较大 小，得出余数小于除数忘记了对小学生来说“数学就是生活 ” Date19Date20实物操作 表象操作 符号操作分豆子 脑中分豆子 算式运算（具体） （半具体、半抽象） （抽象）寻找规律“分豆子”与布鲁纳的认知理论数学是在具体、半具体、

9、半抽象、抽象中间的铺 排，是穿梭于实物与算式之间所作的形式化过渡。Date21豁然开朗：表象操作是形式化的重要中介如退位减法23-8=？学生有多种思维水平：第一种：第二种： 形式化寻找意义23 815第三种：第四种：说出算理 238=10 +(13 8)=1523 8=(20 8)+3=1523 8=(23 10)+2=15停留于第一、第二种水平的学生“只会动手做, 不会 动脑想”，从第二到第三种是关键的一步，通过表象操作 ，越过这一步，才能达到计算自动化，或灵活运用多种方 法并说出算理。 Date22二、数学思想方法在数学教学中数学思想方法的发展史 数学思想方法在数学教学中的应用Date23

10、1数学思想与方法 1,从词义看：思想是指客观存在反映在人的意识中经过 思维活动而产生的结果。 2,从哲学角度看，思想的涵义有二：一是与“观念”同义 ，二是指相对于感性认识的理性认识成果。 3,数学思想：对数学知识的本质认识，是对数学规律的 理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识 过程中提炼上升的思想观点，它在认识活动中被反复 运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学问 题的指导思想。例：化归思想、分类思想、模型思想 、极限思想、统计思想、最优化思想。 4,数学方法：从数学角度提出问题、解决问题（包括数 学内部问题和实际问题）的过程中采用的各种方式、 手段、途径等，其中包括变换数学形

11、式。求和可以考 虑分解组合的方法，变换问题的数学形式。Date24二、数学思想方法的发展和演进数学是一门古老的学科，它从萌芽时期发展至今已经有 数千年的历史。数学的发展史不只是一些新概念、新命题 的简单堆砌，它包含着数学思想和方法的积淀，尤其是数 学本身许多质的飞跃，即数学思想方法的重大突破。 1，古代的数学思想和方法从远古到公元前5世纪左右的数学萌芽时期是一个漫长的 历史过程。 （人们积累了算术和几何方面的零碎知识，逐 渐形成了抽象意义下的数和图形的概念，产生了计数法和 各种数制下的算法，出现了测地术。此时尚未形成一般的 数学理论，还谈不上有什么重要的数学思想。但是一一对 应的计数法（对应思

12、想）和记数符号的使用有力地推动了 数学的发展。另外，直接的观察和体念被作为最重要的认 识方法。数学经过漫长的萌芽时期，在古巴比伦、埃及和中国积 累了大量的数学知识之后，汇成了两股不同的数学源流，Date25形成了两个各具特色、风格各异的数学体系。一个是以巴 比伦和埃及数学为源头的，在希腊汇合后又得到长足进步 与发展的古希腊数学，另一个则是以解决问题为宗旨、以注重算法为特点的古代中国数学。古希腊的数学融数学与哲学为一体，以哲学促进数学 理论的建立，提出了一系列思辩性的数学观点、理论和方法。首先 ，古希腊人对数学的认识有了根本性的变化。他们认为数学不仅可用来解决一些实际问题，更重要的是他们试图用数

13、学来理解世界，把数学看作是理解宇宙的一把钥匙，是研究自然的一部分，其深刻的数学思想对后世影响很大。其次，古希腊人用演绎证明方法研究几何，使几何学成为一个演绎系统。欧几里得的几何原本和阿波罗尼斯的圆锥曲线是演绎数学的代表著作。把逻辑证明系统地引入数学，把数学奠基于逻辑之上，这是对数学认识的一个质的飞跃。由此得来数学思想方法的更新公里化的思想和演绎推理进入了数学。值得一提的是，古 Date26希腊虽然非常强调演绎推理，但数学思想发展的历史表明 ，他们的数学创造也离不开观察、实验，离不开归纳、猜 想和分析。中国古代数学是以问题为中心的算法体系，九章算术 的成书是其形成的标志。 2、近代的数学思想和方

14、法1718世纪，欧洲的数学创造也进入了一个崭新的时 期，这个时期，数学不仅产生了许多新的分支，而且产生 了许多新的思想和方法，它突出表现在从演绎几何到几何 代数化、从常量数学到变量数学以及从必然数学到或然数 学的几个重大转折上。 3、现代的数学思想和方法Date27美国的基础教育n马力平（原华师大硕士）在数学的认知和教学 例举了这样一个例子：n象n考察20个小学教师，62%的教师没有答对（样本虽 小，但他们中18个具有学士学位，6个具有硕士或 博士学位）n美国小学（三至五年级）不教分数n美国也在学习中国的基础教育，因此，我们得寻找 中西方的最佳结合点中间地带Date28一条船上有75头牛和32

15、头羊， 问船长几岁？ 这是学校把学生越教越笨的表现.中国的中小学生有92.5% 给出答案法国四年级小学生给答案的为65%Date29（荷兰）甲离学校10公里，乙离甲3 公里， 问乙离学校几公里？ n训练学生的表示能力n甲、乙、学校在一条直线上？ 没有说校 乙 甲 乙 Date30数学方法的应用举例1、数学抽象与数学模型方法数学从内容到方法都显示出极其高度的抽象性(1).数学抽象方法11数学抽象的概念数学抽象是抽象方法在数学中的具体运用，也就是利 用抽象方法把大量生动的关于现实世界空间形式和数量关 系的直观背景材料进行去伪存真，由此及彼，由表及里的 加工和制作，提炼数学概念，构造数学模型，建立数

16、学理 论。Date3112 数学抽象的特点 (1)数学抽象的特殊内容：数学只是量的科学。1，1头牛，1 只羊 （2) 数学抽象的特殊高度：和一般的自然科学相比，数学抽 象的又一特点在于它所达到的高度，数学的抽象程度远远超 过了自然科学中的一般抽象。 首先，数学抽象往往是在其他学科抽象基础上的再抽象。（ 例如，正比例函数是物理学中匀速直线运动和简谐运动的再 抽象。其次，数学抽象具有逐级抽象的特点。更为重要的是， 数学抽象的特殊高度表现在数学中一些概念与真实世界的距 离是如此遥远以致常常被看成“思维的自由想象物和创造物 ”，这即为数学中所谓的“理想元素”（如无穷远点） （3)数学抽象的特殊方法。 数学抽象就是一种建构的活动，