奥数教程——抽屉原理

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1、选取日期第 30 周 抽屉原理（二）第三十周第三十周 抽屉原理（二）抽屉原理（二）专题简析：专题简析： 在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元 素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：元素总数元素总数=商商抽屉数抽屉数+余数余数 如果余数不是 0，则最小数=商+1；如果余数正好是 0，则最小数=商。例题例题 1： 幼儿园里有 120 个小朋友，各种玩具有 364 件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会 得到 4 件或 4 件以上的玩具？ 把 120 个小朋友看做是 120 个抽屉，把玩具件数看做是元素。则364=1203+4，412

2、0。根据抽屉原理的第（2）条规则：如果把 mxk（xk1）个 元素放到 x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有 m+1 个或更多个元素。可知至少有一个 抽屉里有 3+1=4 个元素，即有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具。 练习练习 1 1： 1、一个幼儿园大班有 40 个小朋友，班里有各种玩具 125 件。把这些玩具分给小朋友， 是否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具？ 2、把 16 枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于 6 枝。这是为什么？ 3、把 25 个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有 7 个球？例题例题 2： 布袋里有 4 种不同颜色的球，每种都有 10

3、 个。最少取出多少个球，才能保证其中一定 有 3 个球的颜色一样？ 把 4 种不同颜色看做 4 个抽屉，把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第（2）条，要 使其中一个抽屉里至少有 3 个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉个数的 2 倍多 1。即 24+1=9（个）球。列算式为（31）4+1=9（个） 练习练习 2 2： 1、布袋里有组都多的 5 种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中一定有 3 个 颜色一样的球？ 2、一个容器里放有 10 块红木块、10 块白木块、10 块蓝木块，它们的形状、大小都一 样。当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有 4 块颜色相同，应

4、 至少取出多少块木块？ 3、一副扑克牌共 54 张，其中 113 点各有 4 张，还有两张王的扑克牌。至少要取出 几张牌，才能保证其中必有 4 张牌的点数相同？例题例题 3 3： 某班共有 46 名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、美术、书法和英 语，每人可参加 1 个、2 个、3 个或 4 个兴趣小组。问班级中至少有几名学生参加的项目完 全相同？ 参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有 4 种类型，只参加两个小 组的有 6 个类型，只参加三个组的有 4 种类型，参加四个组的有 1 种类型。把选取日期第 30 周 抽屉原理（二）4+6+4+1=15（种）类型看做 1

5、5 个抽屉，把 46 个学生放入这些抽屉，因为 46=315+1，所 以班级中至少有 4 名学生参加的项目完全相同。 练习练习 3 3： 1、某班有 37 个学生，他们都订阅了小主人报 、 少年文艺 、 小学生优秀作文 三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同？ 2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个 （可以不参加） 。某班有 52 名同学，问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个，问：在 31 个 搬运者 中至少有几人搬运的球完全相同？例题例题 4 4： 从 1 至 30 中

6、，3 的倍数有 303=10 个，不是 3 的倍数的数有 3010=20 个，至少要 取出 20+1=21 个不同的数才能保证其中一定有一个数是 3 的倍数。 练习练习 4 4： 1、在 1，2，3，49，50 中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一 个数能被 5 整除？ 2、从 1 至 120 中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是 4 的倍数？ 3、从 1 至 36 中，最多可以取出几个数，使得这些数中没有两数的差是 5 的倍数？例题例题 5 5： 将 400 张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不能超过 11 张，试证明：找少有 七名同学得到的卡片的张数相同

7、。 这题需要灵活运用抽屉原理。将分得 1，2，3，11 张可片看做 11 个抽屉，把同 学人数看做元素，如果每个抽屉都有一个元素，则需 1+2+3+10+11=66（张）卡片。 而 40066=64（张） ，即每个周体都有 6 个元素，还余下 4 张卡片没分掉。而这 4 张 卡片无论怎么分，都会使得某一个抽屉至少有 7 个元素，所以至少有 7 名同学得到的卡片 的张数相同。 练习练习 5： 1、把 280 个桃分给若干只猴子，每只猴子不超过 10 个。证明：无论怎样分，至少有 6 只猴子得到的桃一样多。 2、把 61 颗棋子放在若干个格子里，每个格子最多可以放 5 颗棋子。证明：至少有 5 个

8、格子中的棋子数目相同。 3、汽车 8 小时行了 310 千米，已知汽车第一小时行了 25 千米，最后一小时行了 45 千 米。证明：一定存在连续的两小时，在这两小时内汽车至少行了 80 千米。答案：答案： 练练 1 1、 把 40 名小朋友看做 40 个抽屉，将 125 件玩具放入这些抽屉，因为 125340+5，根 据抽屉原理，可知至少有一个抽屉有 4 件或 4 件以上的玩具，所以肯定有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具。 2、 把三个笔盒看做 3 个抽屉，因为 1653+1，根据抽屉原理可以至少有一个笔盒里的 笔有 6 枝或 6 枝以上。 3、 把盒子数看成抽屉，要使其中一个抽屉里至少有

9、 7 个球，那么球的个数至少应比抽屉 个数的（71）倍多 1，而 254（71）+1，所以最多方子 4 个盒子里，才能保证选取日期第 30 周 抽屉原理（二）至少有一个盒子里有 7 个球。 练练 2 1、 最少应取出（31）5+111 个球 2、 至少取出（41）3+110 块木块。 3、 如果没有两张王牌，至少要取（41）13+140 张，再加上两张王牌，至少要摸出 40+242 张，才能保证其中必有 4 张牌点数相同。 练练 3 1、 小学六年中最多有 2 个闰年，共 3662+36542191 天，因为 1317062192+18，所以其中一定有 7 人是同年同月同日生的。 2、 参加课

10、外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有 4 种类型，只参加两个组 的有 6 种类型，只参加三个字的有 4 种类型，参加四个组的有 1 种类型。把 4+6+4+115 种类型看作 15 个抽屉，把 46 个学生放入这些抽屉，因为 46153+1， 所以班级中至少有 4 名学生参加的项目完全相同。 3、 全班订阅报刊的类型共有 3+3+17 种，因为 3757+2，所以其中至少有 6 位学生 订的报刊相同。 练练 4 1、 在 150 中，5 的倍数有 50510 个，不是 5 的倍数的就有 501040 个，至少要 取出 40+141 个不同的数才能保证其中有个数能贝 5 整除。 2、

11、在 1120 中，4 的倍数有 120430 个，不是 4 的倍数有 1203090 个，正是要取 出 90+191 个不同的数才能保证其中一定有一个数是 4 的倍数。 3、 差是 5 的两数有下列 5 组： 1、6，11、16，21、26，31、36；2、7，12、17，22、27；3、8，13、18，23、28、3 3；4、9，14、19，24、29，34；5、10，15、20，25、30、35。要使取出的数中没有 两个数的差是 5 的倍数，最多只能从每组中各取 1 个数，即最多可以取 5 个数。 练练 5 1、 把 11 秒钟看做 11 个抽屉，把 100 米看作 100 个元素，因为

12、100911+1，所以必有 1 个抽屉里超过 9 米，即必有某一秒钟，他跑的距离超过 9 米。 2、 如图答 301，把边长为 2 的等边三角形分成四个边长为 1 的小等边三角形。把它看作 4 个抽屉，5 个点看作 5 个元素，则一定有一个小三角形内有 2 个点，这 2 个点之间的 距离不超过 1。3、先把长方形的每边剪去宽 1 厘米的长条，余下一个 5040 的长方形，它的面积为 2000 平方厘米，再把每个圆的半径放大 1 厘米成为 3 厘米的圆，若剪去后的长方形至少有一个 点未被 70 个镶边后的圆盖住的话，那么原来的长方形中就能放进一个以这点为圆心的圆。 因为3270 的值就小于 6303.151984.52000，所以在原来的长方形中一定可以放 进一个半径为 1 厘米的圆。