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1、一 九八五年第二期山 东工 业 大 学 学报阮2PRO CE E D INGSO FSHAND ONGE N G I NEERI NGIN S一II T UTE19 8 5机床封闭传动链的扭转振动计算与程序汉 晓林王乃银毛J ,肠护,L J卜、J , 矛,J 尸 ,恤J , . 曰r、 子, 了 , .J叨J, .J , 子,k曰尸 ,.了, .产,刀,砂, “ 尸 ,产 . 厂 , 尹, J ,.以, J , 矛 刊卜了了 , . 尹 ,J ,.,. 门. 曰,.,.,了, .J, . 尸, 月曰尹,摘要:本文应 用传递拒阵法,对具有封闭传动链的机床传动系统扭转振动的动态特性 进行了分析与计
2、算。并给出了:用 于求固有频率与振型的自由扭振 计算程序;为求机床传动链上 各点在 简谐激振力作用下的响 应而拟定的强迫扭振计算程序。此二程序在技术服 务的实践、卜取得 较好的 效果。机床的传动 系统大部分 是开 式的多分 支传动。但 也有一 些机床,例 如滚齿机、弧齿 锥齿轮加 工机 床等,它们 的传动链中包含有 呈封 闭式 的传动。如图l(a)在 滚齿机上 滚切直齿园柱齿 轮。很明显,这样的传动链 呈开 式的多分 支扭转 振 动系统。而图1(b)在 滚切斜 齿园组齿 轮 时,传动链 中 的点6至n,再由1 1、1 3 至1 5,经合成 机构 后返回至点6的这一部分传动就 成为一个封闭式 的
3、传动链。有关开式传动链 扭 转振 动的计算已获得解决,本文仅就有些机床具有封闭式传动链 时,如何计算其扭转振动 问题作一探讨。!.t气l|一 ,|L户户住一一吞刀. 召好孕毋u , T/T件吟 一一 夯卜】 l _一二_一(氏)1 侧减备.一( 卜p_J图1一、传递矩阵法求解开式传动链自由扭振的方法传动 系统以某一自由频 率。作简潜扭振 时,系统中任何单元 的左、右节点_均受到内力矩T的作用,且产生位 移转角小,故每一节 点 上的态矢量有:z,二雪l运转着的惯量单元如图2示,它左、右节点q、口+1上的态矢量应为(惯量单元视为刚体): 中.十1二中;J。、=T、 、厂T,式中J为其转动惯量,亦即
4、:、1七中中T砂l、. 尸气+:二T一JoZ中。乍砚,月,脚一,.沙户限户 犷万守寸图2一, 口.一叫,中.,一一月.一币. 孔 翔嗯矿育全于l 一诞今下犷一了打丁广l图3故可得(1)q、 J万、,尹小Tq一JoZ一一1+口、l产 、 ,中!T. r 、,讨1甲又简写为 Z. +,二Uz。上式中U为惯量单元的传递 矩阵。传动链 中两惯量单元 之 间包含有轴段 的弹性单元,它 的受力分析如 图3示,即(T工一T,(、(中、:一中,)=T、:式中K为轴段的 扭转刚度。生互 星询之吟亦 即、分支TzlK +中十1=中贾,.LI, .J 、 沙 tr f J 自,.日,|己|,盆T+1二T故可得:中T
5、1兀l一一+、J.户、JeT(2)简写为Z ,十:竺U、z、上 式的U了为轴段单元 的传递 矩阵。图4另外,机床的传劝链都是由多个分支传动所组成,其中二个支的联接单元就称谓分支单元,它 的受力如 图4示。、分 支 单元共有 三个节点,属 本支 上左、右节点是q、q+;,与分支联接 的节点为R+1。其中分支传动链 的 首末端态 矢量的传递关系式为:Z、工二U U2U:Z工简写为:Z、:=RZ,式中尺为该分支 的累 积矩阵,其展开 式为Rl,Rl :R:RZ :(3)中T!|/+R中T因分 支首端边界条件的不同,存在着两种 情况:(1)分支始端为自由状 态 时,因T工=O,代入 式(3),得+:二
6、R一:中1+l=R21中1了一鬓于:一,一Kl,一“1二类:(2)分 支始端为固定状 态时,因中;=O,代入 式(3),得中、1“R1ZT,:、,=尺2ZT,_.尺,.,“拭;中,二八2中,尺“R12乙K( K+即由此,从 图4知分支单 元上的 受 力情况可写为:夕 中J中+1二中,=中十1二,r,l一T一T、1=中二巾=丁+T钊+1一JoZ中二T中一J研中小T、,2. 口.J、式中K视 上述两种不同的首端边界条件而定,犬。二RZ ,尺,整理成矩 阵形式,厂一15中王_ 之T,+;卜(J一乓 仗仍(4)q、 了 ,、口中T、 l| |夕 n甘 1.12O、 户简写为:z、十,=Uz上式中的U为
7、分支单元 的传递 矩阵。分支单元本身就是惯量单元,比较惯量单元式(1)与 分 支单元的式(4)时 可知:遇甲,_介_ _,_、,_ 、,_,_,。_,、,K R、。、,、,.到分 支单元 时,只 要将其传递 矩阵中的 元素U21=一JOZ改为一妙一景)”2就成为分 支单元了,也 就是将原先姗量J值修正种一攀)值 即可。多分支开 式传动系统自由扭 振 固有频率的计算应先从最末一个分支的 始端算起,求出该 分支累积矩阵后,就可以将其所联接的分支单元 的惯量J修加以修正。修正后,再从第二支的始端开始,用同样的方法直至主支上 的分支单元 的惯 量也获得修正为止。这样,原来是计算多分支传动系统固有频率的
8、问题,就已等效转化 成为仅 计算主支 的自由扭振 固有频率了。主支上 的各单元总 累积 矩阵求得后,其首末端的态矢量关系式为:R1 1R1 2R:aR:2(5) 首主中T、.;少/|llL一一 末主中T由于边界条件的不同,存在着四种 情况:(1)主 支首末端均为自由端 时,则T主 首二T主末=o,由式(5)一 可得频 率方程RZ,二(2)主 支首末端均为固定端时,则中土首=中主末=0,由式(5)可 得频率方 程R,:(3)首端自由而末端固定,则T主首二中主末=0,频率方程为R, :二o。(4)首端 固定 而末端自由,则中主首=T主末=o,频率方程为R22=o。解出上 述四种情况下的频 率方程,
9、也 就获得 该机床传动 系统自由扭振 的固有频率了。显然,多分 支开 式自由扭振 的计算方法是不 可 能用在闭式传动 链的。二、用传递矩阵法求解封闭式传动链自由扭振的方法1、系 统的 固有频率计算:设有一个成封闭链 的传动 系统,如 图5。其中由轴!、1产及 齿轮z。、Z、25、z。 产、25/、z。、24/的传动构成了一个封闭式的传动链。整个传动的计算模型可简画成 图6示。图中J:至J7是z:至27齿轮的惯 量单元;Kl、Kl、K I与Kw表示 轴I至 轴W的 轴段单元;K,2、K:;、K产 。、KS。、与r。代表各相互啮 合齿轮之 间,由于轮 齿 的啮 合变形及轴段的弯曲变形而引入的各个当
10、量轴段。按计算要求,还可以画成 图7示 的计算模 型。皿皿皿几几 几几皿皿, ,叮万图5图6图7于 此 闭式传动下,应将封 闭传动的坏节处理 成主支,而把 不是封 闭的传动定为各分 支。在封闭链的任 一处断 开(设为A点),这 样就可以根据 计算的 顺序,将各 单元 编为1至1 8号,与其相应 的 节点 编为l至 2 1 号。计算是 先从 左边 的分 支开 始,就 是 先将单元1至单元4的 累积矩阵求出,根据该分支 首端 的边 界条 件来修正主 支_上分支单元9的传递 矩阵J值。以后再计算右边 分支上的单元5与6的累 积矩阵,依据 该分支的边界条件来修正主 支上 的分 支单元 1 5传递矩阵
11、的J值。接着再计算主 支封闭链,但封闭链的 分 支单元g与 1 5中J值的修 正方 法与 上述的不 同。将图7上 的封 闭链单独绘 如 图8示,从 图8中看出:分 支单元9与1 5也正是封闭链主支两端 的换向单元,有关该两换 向单元9与 1 5 上的受力情况应为: 中+ 1=一中T、+= lJ护中、一乙十T*+产J护。一T,+K中,写成 矩阵形式为:气 甲)q+1 1一1 (6)q恤口.争几eT尸、J 、夕、!J.上n U(J+K*/。2)。2一会鲁占含导含占浮冬与贾不“少,行11一几 直查,了一 不以书咨叭几,”气一一阮盛一碗巡?玉一甸图8可简写为石Z、:二)Z子,式中zJ即为两换同单元的传
12、递矩阵,这就一 可以根据式(l)采修正g.,卜,的J值。若按图:在 封苗链 的五处断开,. 于是可得主 支封闭链 的传递方程为:z:二 少工U:7 U、“7z。因为节点2鱼与9是同闷点,故z步:,二z。,故上式 可 简化为:Z儿二尺Z。一或R一I五一 Z。二,O,由于z,年0,故必有 人一I=o一(7)上式(7)即具有封闭链条件下 的频率方程,用频率 扫描求解之,就 可获得整个传动 系统的各阶固有频 率。2、振 型的 计算:振 型本身是传动 系统在某一固有频率下各单元节点上振幅值 的相 对 量。即人为地定出某一单元节点的振幅转角设为一个单位时,以此求出全 系统 上其它各节点相对于 该节点振幅转
13、角的相对比值。,一、在开式传动 链中,常将给定主 支上起始节点的 振 幅定为1,而在封闭式传动链中,只 能在封闭链中断开点A处的 振幅转角值定为1。故以上例来说,主支封闭 链的 累积矩 阵展开 式为:中T. 、 夕、 口、 日尸、. . .J卜 日R1 1Rl:R2aR:J.l、一一么、 tJ矛吸刀中T矛、J、了、因为断开处A节点的振 幅转角定为中:l=中9=1故.口.口 几1王Tr 么.r) 1、.IJ心勺 山11吕小:,一心故有RI:十凡ZT。二_1一R:aRz;此时,断开 点A处的态矢量均知,依次按各单元的传递矩阵就可先求出封 闭链 上各单元节点 的 相对态矢量比值。由于换 向单元节点上
14、 的态矢量均 知,这就可以求解与 其 相联接的各分 支单元节点上的态矢量。这样,就 获得了整个系统在固有频率。下备单元节点的全部态矢量。将它 们第一个元素振幅转角中值垂直绘制在各节点上,即可得到在此固有频率下的 振型 图。3、自由扭振 电算程序及说明:(1 )程序中的标识符说明:N一一单元总数;NN支的总数(封闭链部分件主支,视为一个支);N4与NS-一封 闭链中的两 端换 向单元序号。若为开链,则N4二NS“。;台、口、w分别为频率扫描 的初值、步长与终值;尹;式算频率 的循环变量;“仁。:NN一各支末端单元 序号的数组,其 中“0=。;对D0:万N二各支末 端节点序号的数组,其中“DO二0
15、;JD1:百N一1各分 支单元 序号的数组;JDz1:NN一各分 支单元前节点序号的数组,Bl:NN一卜1二各分 支首端及主支首末端边界条件的标识数组;H1:N,1:2各单元的性能 参数数组,其中Hi,1为各单元 的转动质量J(吨fcm、“),Hi,2是 轴段单元的扭 转刚度K伙盯.。叮:而);Z1:NN+N,i:2各节点的态矢量数组;Ul:N,1:2,1:2- 一各单元的传递矩 阵数组,经单元 逐次累积相乘 后,再存放逐步 的累积矩 阵数组;( 2)程序说明:过程AA在 顺序求得各分支累 积矩阵的 同时,分别: 逐支地修正与该分支相 联结 的分支单元J值,最 后 由求得的主 支 累积 矩阵进行频率方 程的计算,得出在某一频率一日均余量值pZ,用符 号DET表示 出来。过程AB是 用于计算出固有须率值后,先求出封闭链主 支断开点的态矢量,再用AA过程中算的累 积矩阵逐步计算出主 支与各分支上各节点的态矢量,以求得整个传动 系统的振型。接着上述的两个过程说 明后,是本 程序的计算开始。固有频 率是采用变 步长 扫 描求得的,即粗扫描 的步 长值0较大,当找到余量 值DET的符号 改变时,再用小步 长0/100反向精扫 描,直到第二
