《华东理工大学概率论答案-15,16》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华东理工大学概率论答案-15,16（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十五次作业一.选择题：1. 设随机变量密度函数为，则的密度函数为（ A ） 。( )p x31( )pyA、 B、 C、 D、11()33yp13 ()3yp1(3(1)3py13 ()3yp2. 设随机变量和相互独立，其分布函数分别为与，则 )(xF)(yF的分布函数等于 （ B ）),max( )(zFA B. )(),(maxzFzF)()(zFzFC D. )()(21zFzF)()()()(zFzFzFzF二.填空：已知, 则的概率密度为 。) 1 ,0(N31)(y226 e23yy三.计算题1. 已知随机变量，求的概率密度。2 , 0U2解: 000)()( 000)(2 yy
2、yFyF yyyyPyPyF 故 000)()(21 )( yyypypyyp 他他04041yy2. 设随机变量 X 的概率分布为：X123nP21221321n 21求的概率分布。)2sin(XY解：由于 34120141 )2sin( kxkxkxx, 2 , 1k故随机变量的可能取值为：-1，0，1。Y随机变量的；Y1141kkXPYP 1 4141521211 81 21kk；120kkXPYP 1 22311211 41 21kk，1341kkXPYP 1 4341581211 21 21kk于是随机变量的分布律为：YY-101P152 31 1583设 ，求 = 的分布 。) 1
3、 , 0(Uln解：对应于 = ， ，由于ln)(2)(lnlnxfexyxx。xxexfx1ln2)(2)(ln当时， ， ) 1 , 0(x0)(xfyeyfxln1)(= )(yyyeyyyfxyyfx其它), 1 ( ,.,0ln21 |)( | )(ln 1 )(1 其中当时，=0 是由时 而导出的。 1 ,(y)(y) 1 , 0(x), 1 ( y4. 设是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量，求、 21, 0N。|)(|E解: 由已知条件可得：，所以) 1 , 0( N2e22de22de21|)(|02202222 xxxxxxxE5. 已知随机变量的概率分布分别为、 41
4、 21 41101ixP21 2110jyP而且。10P(1)求的联合概率分布；(2)问是否独立？、 、 (3)求的概率分布。), max(解: 由于,可以得到,从而(0)1P(1,1)(1,1)0PP , ,1(0,1)(1)2PP1(1,0)(1)4PP , ,1(1,0)(1)4PP(0,0)(0)(0,1)0PPP汇总到联合分布列,即0111 40001 211 40(2)由于,故不独立.(,)()()PijPiPj, (3),1(0)(1,0)(0,0)4PPP 3(1)(1,1)(0,1)(1,0)(1,1)4PPPPP 6设随机变量相互独立，其密度函数分别为、 000)(,010
5、1)(yyeypxxpy其他求的概率密度函数。 解: 由相互独立得联合密度函数为, , 01,0,( , )0, , yexyp x y 其他密度函数中非零部分对应的落在区域 D 中,利用卷积公式,( , )x y当时,1z 1()0( )(1)z xzpzedxee当时,01z()0( )1zz xzpzedxe 当时,0z ( )0pz故 (1), 1,( )1, 01, 0, 0. zzeezpzezz 7. 电子仪器由 4 个相互独立的部件组成，连接方式如图所示。设)4 , 3 , 2 , 1( iLi各个部件的使用寿命服从指数分布，求仪器使用寿命的概率密度。i) 1 (E1L3L2L
6、4L解: 设各并联组的使用寿命为，则)2 , 1( jj,max,max,min43221121由独立同分布知也独立同分布。现i21,000e1)(xxxFx所以 000)e1 ()()(2 2 yyyFyFy从而000)e2(e1000)e1 (11)(11)(22222 zzzzzFzFzzz。 000)e2)(e1 (e4)(2zzzpzzz8某厂生产一种化工产品，这种产品每月的市场需求量 （单位：吨）服从 上的均匀分布。这种产品生产出来后，在市场上每售出 1 吨可获利 6 万元。5,0 如果产量大于需求量，则每多生产 1 吨要亏损 4 万元。如果产量小于需求量， 则不亏损，但只有生产出
7、来的那一部分产品能获利。问：为了使每月的平均利 润达到最大，这种产品的月产量 应该定为多少吨？这时，平均每月利润是a 多少元？解：因为,所以的概率密度为 。)5,0(U 其他05051)(xx设月产量为 （） ，每月的利润为 ，则a50 a。)(f 时当时当 aaaaa 6410)(46该厂平均每月利润为ExxxfEfd)()()(。50d56d5410aaxaxax222 65665aaaaa由 可解得 （吨） 。aE dd026)6(dd2aaaa3a可见，要使得每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量应该定为 3 吨。这时，平均每月利润是（万元） 。9336622aaE第十六次作业第十六
8、次作业一一 计算题：计算题： 1.1. 一批产品的不合格率为 0.02，现从中任取 40 只进行检查，若发现两只或两 只以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：（1）用 二项分别作精确计算；（2）用泊松分布作近似计算。解解: : 设不合格得产品数为.(1).40139 40(2)1(0)(1)1 (0.98)(0.02)(0.98)0.1905PPPC (2)利用二项分布的泊松定理近似,得,40 0.020.8np.(2)1(0)(1)PPP 0.80.810.80.1912ee2.2. 已知一本 300 页的书中每页印刷错误的个数服从普阿松分布，求这(0.2)P本书印刷错误总
9、数不多于 70 个的概率。解解: : 设是第 页印刷错误的个数，已知，它们相互iii)2 . 0(P1, 2,300i 独立，由普阿松分布的可加性可知，300 页书的错误总数。 3001ii)60(P直接用普阿松分布计算，则有。7070 6000600700.909813!kkkPPkek下面用独立同分布中心极限定理近似计算。因为，独立同分布，i)2 . 0(P300, 2, 1iiE2 . 0iD，根据独立同分布中心极限定理，可认为 近似2 . 0300, 2, 1i 3001ii服从正态分布,其中,),(2nnN602 . 0300inEn。602 . 03002inDn所以700P)60
10、600()606070()6060()6010( 。)75. 7()29. 1 (09015. 09015. 03.3. 作加法时，对每个加数四舍五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互独立的，都服从上的均匀分布。现在有 1200 个数相加，问取整误)5 . 0,5 . 0(差总和的绝对值超过 12 的概率是多少？解解: : 设各个加数的取整误差为（） 。因为 ，i1200, 2, 1ii)5 . 0,5 . 0(U所以 ， 025 . 05 . 0iE121 12)5 . 05 . 0(2 2iD（） 。1200, 2, 1i设取整误差的总和为 ，因为数值很大，由定理知，这时 nii 1n
11、1200近似有 ，其中， nii 1),(2nnN001200n。10012112002n所以，取整误差总和的绝对值超过 12 的概率为12P12121P )12()12(1 22nnnn )100012()100012(1)2 . 1()2 . 1 (1。 )2 . 1 (1 22302. 0)8849. 01 (24.4. 设是相互独立的随机变量序列，具有相同的概率密度2021,。 其他0102)(xxx令，用中心极限定理求的近似值。202110 P解解: : 因为 （）的概率密度为 ，所以i20, 2, 1i 其他0102)(xxx，32d2d)(102xxxxxEi。181 94 21
12、)32(d2)()(210322xxEEDiii由中心极限定理可知，这时近似有 ，其中， 201ii),(2nnN， 。20n340 3220inEn910 181202inDn所以， 。10P )91034010 ()10( 2 nn)16. 3(1)16. 3(008. 05.5. 设有 30 个相互独立的电子器件，它们的使用情况如下：损1230,D DD1D坏，立即使用；损坏，立即使用，。设器件的寿命2D2D3DiD1,2,30i 服从参数为（1/小时）的指数分布，令为 30 个器件使用的总计时间。0.1T 问超过 350 小时的概率是多少？T解解: : 设是第 个电子器件的寿命，已知，它们独立iii) 1 . 0(E30, 2, 1i同分布，。101 . 0 11iE1001 . 0 1122iD30, 2, 1i根据独立同分布中心极限定理，可认为 近似服从正态分布 301iiT，其中 , 。),(2nnN3001030inEn3000100302inDn所以350TP3501
