《华罗庚学校数学教材(六年级下)第02讲_关于取整计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华罗庚学校数学教材(六年级下)第02讲_关于取整计算（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本系列共 14 讲 第二讲 关于取整计算. 文档贡献者：WINER在数学计算中，有时会略去某些量的小数部分，而只需求它的整数部分比如，用 5 米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布 2 米 ， 求这块布料可以做几件上衣？ 5 = 2 1 ，我们的答案取 2 1 的整数部分2 2 2 2。又如，我们收水费时，为方便经常是忽略掉用水量的小数吨数， 而是先按用水量的整数吨数收费把余量推至下一个月一起收 所以数 学上引进了符号 ，使我们的表述简明a 表示不超过 a 的最大整数，称为 a 的整数部分例：0=0，0.03=0， 5 =2，10.25=10，7=7，1 =0。2 3 a 显然有以下性质：a 是
2、整数；xx；xx+1；若 b1，则aba ；若 b1，则aba+1 请你自己举些例子验证前三条性质 性质举例：a 取 2.7，则a=2若 b=1.1，那么ab=2.7+1.1=32=a 若 b=0.5，那么ab=2.7+0.53.2=3=a+1； 若 b=0.1，那么ab=2.8=2a1a还有许多性质例：若 n 是整数，则有：a+n=a+n与a相关的是数 a 的小数部分，我们用符号a表示例 0=0， 0.03=0.03， 5 = 1 ， 10.25=0.25， 7=0，2 2 1 = 1 。 3 3 显然，a=a+a，而且 0a1 下面我们应用取整符号解题例 1 判断正误：若 2x+3x=1则
3、x=0 解：不正确假设 x0， 则 ： x=x 原式为：2x3x=1，5x=1，x= 1 ，矛盾。 5 例 2 求 11993 中可被 2 或 3 或 5 整除的整数的个数分析 我们知道，自然数中不超过 x 的 n 的倍数的个数是 x 。n所以 11993 中能被 2、3、5 整除的数分别有1993 =996（个 ） ，1993 =664（ 个 ） ，32 1993 =398（个） 。但若把这三个数相加，做为答案 5 就多了， 因为有些数被重复计算了。 例如 6 及其倍数， 既是 2 的倍数 ，又是 3 的倍数，被计算了两次同理，重复计算两次的数还有 10 及它的倍数和 15 及它的倍数，一共
4、有1993 61993 101993 =663（ 个 ）15 要从和中减去。进一步还要考虑 30 及它的倍数，它们既是 2、3 与 5 的公倍数，也是 6、10 与 15 的公倍数开始计算了三次，后来又减 去了三次，所以要补上解：合题意的数有：1993 21993 31993 51993 61993 101993 151993 30 =205866366=1461（个）例 3 求 31+ 32 + . + 3 10 的值。 11 11 11 分析 加法运算中常用高斯求和法简算求x的基本方法是根据定义 x=x+x要善于观察特殊值解：31+ 310 是整数， 31 + 310 = 3 也是整数。1
5、1 1111 11而 31 310 31 310 31 310 ，+ = + +11 11 11 11 11 11 31 310 是整数，又因 11 110 31 1，0 310 1， 11 11 0 31 310 2。 11 11 在 0 至 2 之间的整数只有 1 31 310 =1 11 3111+ 310 =31=2。11 11 同理， 32 + 39 =2，11 11 35 + 36 =2。 11 11 31+ 310 310 =10。11 11 11 例 4 求满足方程x+2x=19 的 x 的值分析 解这道题的关键是由 x=x+x求 2x 的整数部分和小数 部分。解：因为 x=x
6、+x， 则 2x=2x+2x 2x=2x+2x=2x+2x 。因 0x1，02x2 现在对x分段来讨论： 当 0x 1 时， 2 02x1， 这时2x=2X ，原方程化为：3x=19，x=19 ，此时无解。 3当 1 x1 时，12x2， 2 这时2x=2x+1，原方程化为：3x+1=19， 3x18， x=6故满足原方程的 x 为大于或等于 6 1 ，且小于 7 的数，即 6 1 x2 27。说明：此题运用了适当分类讨论的数学思想。例 5 问下面一列数中共出现了多少个互不相同的数？12 2219932 ， ，, 199319931993分析 首先要考虑由已知条件我们能推出什么？12 22可推
7、知这一列数的第一项 =0，第二项 =0，一共有199319931993 个数，最后一项 19932 =1993。 1993 可推知这一列数不等于同一个数，但也不是互不相同。因 =2。12 2219932 。199319931993 考虑利用公式（ab）2=a22abb2 分析项的变化。(k + 1)2 k 2 2k +1 + ，根据性质 4，19931993 1993若 2k + 1 1，则这列数的相邻两项有关系： 19932 2 k k +2k + 1 19931993 1993若 2k + 1 1，则这列数的相邻两项有关系： 19932 2 k 1 k + 2k +1 ，即相邻两项或相等或
8、是相邻自然数。19931993 1993关键在确定 k 。解：数列的第 k 项是 k ， k =1、2、1993。1993也就是 k996。这说明当 k 996 时， 2k + 1 1。 1993997219932由分析知从 至最后一项 互不相同，共有 1993997199319931=997（ 个 ） 。而当 k996 时，前 996 项的相邻两项相等或差 1因知第一项12 9962 =0，又第 996 项 =497，所以共有 4971=498 个不同的数。19931993综上所述，这一列数共有 997+498=1495 个不同的数。例 6 设 A=100！12nM，其中 M、n 均是自然数
9、则 n 最大取 多少？解：12=223，而 A 中因数 2 有 100 + 100 + . + 100 =97 个； 2 22 26A 中因数 3 有100 100 100 100 + + + =48 个。3 3233 34 A= 2482+1 348 k = 2 (12)48 k = 1248 M ，其中 M 不能被 12 整除。 n 最大取 48。习题二1、在 110000 这一万个自然数中，有多少个数能够被 5 或 7 整除？2、已知： 求：S=？S = 199 1 + 199 2 + . +199 96 ， 97 97 973求满足方程x+2x=18 的 x 的值。4 k 是自然数，且10011002 .1985 1986 是整数， k 的最大值是多少？11k
