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1、1北京市西城区 2010 2011 学年度第一学期期末高三数学参考答案及评分标准 （理科）（理科） 2011.1一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 题号12345678 答案ACDCBDBD二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9. 10. 11. i80412. 13. ， 14. ，30xy355 2注：13、14 题第一问 2 分，第二问 3 分. 三、解答题：三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本
2、解答不同，正确者可参照评 分标准给分.） 15.15.（本小题满分 13 分）解：解：（）因为点在角的终边上， (1,3)P所以， 2 分3sin2 1cos2所以 4 分22( )3sin22sin2 3sincos2sinf. 5 分23132 3()2 ()3222 （） 62( )3sin22sinf xxx3sin2cos21xx分， 82sin(2) 16x分因为，所以， 10 分,63x 65 626x所以， 11 分1sin(2)126x所以的值域是. 13 分( )f x 2,1216.16.（本小题满分 13 分）（）证明：因为侧面，均为正方形， 11ABB A11ACC
3、A所以,11,AAAC AAAB所以平面，三棱柱是直三棱柱. 1 分1AA ABC111ABCABC因为平面，所以， 2 分1AD 111ABC11CCAD又因为，为中点，1111ABACD11BC所以. 3 分111ADBC因为,1111CCBCC所以平面. 4 分1AD 11BBC C（）证明：连结，交于点，连结，1AC1ACOOD因为为正方形，所以为中点，11ACC AO1AC又为中点，所以为中位线，D11BCOD11ABC所以， 6 分1/ABOD因为平面，平面， OD 1ADC1AB 1ADC所以平面. 8 分1/AB1ADC()解： 因为侧面，均为正方形， ，11ABB A11AC
4、C A90BAC所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系.1,AB AC AAAxyz设，则.1AB 11 1(0,10),(1,0,0),(0,0,1),( ,1)2 2CBAD， 9111 1( ,0),(0,11)2 2ADAC ，分设平面的法向量为，则有1ADC= ()x,y,zn， ，1100ADAC nn0 0xy yz xyz 取，得. 10 分1x (1, 1, 1) n又因为平面，所以平面的法向量为，11AB 11ACC A11ACC A(1,0 0)AB ，分， 1213cos,33ABAB AB nn n分B1ABCC11A1DxyzO3因为二面角是钝角，1DACA所以，
5、二面角的余弦值为. 13 分1DACA3 317.17.（本小题满分 13 分）解：解：（）设先后两次从袋中取出球的编号为，则两次取球的编号的一切可能结果,m n有种， ),(nm6 6362 分其中和为的结果有，共种，6(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)5则所求概率为. 4 分5 36（）每次从袋中随机抽取个球,抽到编号为的球的概率.261 5 2 61 3CpC6 分所以，次抽取中，恰有次抽到 6 号球的概率为32. 8 分222 3122(1)3 ( ) ( )339C pp （）随机变量所有可能的取值为. 9 分X3,4,5,6，3 3 3 61(3)20CP
6、XC，2 3 3 63(4)20CP XC，2 4 3 663(5)2010CP XC. 12 分2 5 3 6101(6)202CP XC所以，随机变量的分布列为:X X3456P1 203 203 101 2 13 分18、 （本小题满分 13 分）解：（）由题意得，得. 33 2cc a2 3a 2 分结合，解得，. 3 分222abc212a 23b 4所以，椭圆的方程为. 4 分131222 yx（）由 得. 22221,xy ab ykx 222222()0ba kxa b设.1122( ,),(,)A x yB xy所以， 6 分2212122220,a bxxx xba k依题
7、意，OMON易知，四边形为平行四边形，2OMF N所以， 7 分22AFBF因为，211(3,)F Axy 222(3,)F Bxy 所以. 8 分2 22121212(3)(3)(1)90F A F Bxxy ykx x 即 ， 9 分222222(9)(1)90(9)aak a ka将其整理为 . 10 分422 2 424218818111818aakaaaa 因为，所以，. 11 分23 22 e2 33 2a21218a所以，即. 13 分21 8k 22(,(,44k 19.19.（本小题满分 14 分）解：解：. 2 分2( )(21)fxaxax(0)x （），解得. (1)(
8、3)ff2 3a 3 分5（）. 5 分(1)(2)( )axxfxx(0)x 当时， 0a 0x 10ax 在区间上，；在区间上，(0,2)( )0fx(2,)( )0fx故的单调递增区间是，单调递减区间是. 6 分( )f x(0,2)(2,)当时， 102a12a在区间和上，；在区间上，(0,2)1(,)a( )0fx1(2,)a( )0fx故的单调递增区间是和，单调递减区间是. 7 分( )f x(0,2)1(,)a1(2,)a当时， 故的单调递增区间是. 8 分1 2a 2(2)( )2xfxx( )f x(0,)当时， 1 2a 102a在区间和上，；在区间上，1(0,)a(2,)
9、( )0fx1(,2)a( )0fx故的单调递增区间是和，单调递减区间是. 9 分( )f x1(0,)a(2,)1(,2)a（）由已知，在上有. 10 分(0,2maxmax( )( )f xg x由已知，由（）可知，max( )0g x当时，在上单调递增，1 2a ( )f x(0,2故，max( )(2)22(21)2ln2222ln2f xfaaa 所以，解得，故. 11 分222ln20aln2 1a 1ln2 12a 当时，在上单调递增，在上单调递减，1 2a ( )f x1(0,a1,2a故.max11( )( )22ln2f xfaaa 由可知，1 2a 11lnlnln12e
10、a 2ln2a 2ln2a所以， 13 分22ln0a max( )0f x综上所述，. 14 分ln2 1a 620.20.（本小题满分 14 分）解：（）当时，有2n2 分121321()()()nnnaaaaaaaa1121nabbb. 3 分2(1)11222nnnn 又因为也满足上式，所以数列的通项为.4 分11ana2 122nnna （） （）因为对任意的有， 5n*N51 6 4321nn nn nnnbbbbbbb 分 所以 1656161661626364nnnnnnnnnnccaabbbbbb，11122 1722 (1)n 所以数列为等差数列. 7 分nc（）设， （其中 为常数且） ，所以)0(6nacinni6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1i1666661626364657(0)nnnin in in in in in in iccaabbbbbbn 所以数列均为以 7 为公差的等差数列. 96ina 分设，6777(6 )77666 66666iik ii kiiikaaaak
