宏观量子态：一般概念宏观量子态：一般概念孙昌璞孙昌璞中国科学院理论物理研究所一、两类宏观量子现象 二、非对角长程序与 对称性破缺 三、超流与波函数单值性 四、超导与约瑟夫森效应 五、一、两类宏观量子现象 二、非对角长程序与 对称性破缺 三、超流与波函数单值性 四、超导与约瑟夫森效应 五、 第二类宏观量子效应第二类宏观量子效应演讲内容第一类宏观量子态:玻色-爱因斯坦凝聚第一类宏观量子态:玻色-爱因斯坦凝聚在极端条件下存在宏观量子态在极端条件下存在宏观量子态: 超导超导.超流超流111()[ ()()]2NNjjj jjxxdxdφφ==Ψ =Φ≡++−∏∏d−d(1)0 000...00Nρ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟≈⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠超流超导超导玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚(Off) Diagonal Long Range Order，Yang, 1962, RMP第二类宏观量子态:薛定锷猫和月亮第二类宏观量子态:薛定锷猫和月亮111()()()NNNjjjjj jjjxdxdf xφφ===Ψ =++−≠∏∏∏(1)10010 ...01ρ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟≈⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠L+D|e|g第一类宏观量子态的特性第一类宏观量子态的特性•非对角长程序非对角长程序 • 对称性破缺对称性破缺多粒子系统:平移不变性(I)多粒子系统:平移不变性(I)[],0p H =( )( )( )exp[],T xipxTx HT xH+==[]1,()()()()=()()0HHHHHHHATreAzp ATr epATr eApTr peATr eApTr eApTr eApβββββββ−−−−−−−⎛⎞≅−=−−=平移算子平移算子多粒子系统:平移不变性(II)多粒子系统:平移不变性(II)(),kkkkkqpka ap a akq a a+++=⎡⎤=对心相互作用对心相互作用12...()...VV xx=+−+()0kqkq a a+=−?粒子数守恒:整体U(1) 对称性粒子数守恒:整体U(1) 对称性??iNiNeHeHθθ−=?,0H N⎡⎤=⎣⎦? kkNa a+=∑( )1ikx k kxe aNψ=∑( )0xψ=定理定理: 对于粒子数守恒系统,粒子数守恒系统,场算子的期望值为零证明证明iNiNieaeeaθθθ−−=()()()H kkiNHiN kHiNiNi kkaTr eaTr eea eTr eea eaeβθβθβθθθ−−−−−−≅===(1)0 for any i keaθθ−−=kqkqka anδ+Tc):332.612, D DoraVaλλ==∼Low temperature (T=没有玻色没有玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚, 无无ODLRO非对角长程序非对角长程序[ODLRO] (I)()()00 2,exp[]2ik x y knnmkTrx yn edkVVrRρ−=+→+−∫?()0,nx yVρ→rxy=−→ ∞一阶相干函数=单粒子约化密度矩阵一阶相干函数=单粒子约化密度矩阵R=2mkT?∼关联长度热波波长有玻色有玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚,有有ODLRO,Penrose-Onsager判据,１９５１Penrose-Onsager判据,１９５１( )( )( ) ( )*xyxyψψφφ+→( )( )0xxψφ+=≠( )[ ]00 00001( ) 1( )kxu x aVaNu xVψψφ≠=+→→=∑序参量序参量 (order parametersorder parameters)Bogoliubov 近似,１９４７()( ) ( )*0,nx yxyVρφφ→=GP方程方程:历史上多次重新历史上多次重新``发现发现”221( )( ) ( )| ( )|( )( )2xV xxxxExMφφξ φφφ−∇++=Lee, Huang, Yang ,1956Bogoliubov,1947一个经典场方程：Gross , Pttaevski (?) ,1963-1964从赝势到GP方程从赝势到GP方程赝势赝势, Fermi, 1943, Lee, Huang, Yang ,1956rr刚球模型等效赝势等效赝势2( )[( ) ]sV rarrrδ∂∝∂i二次量子化GP方程GP方程2( )( ) ( ) ( )( )sxy V rxy dxdya++++ΨΨΨΨ∝Ψ Ψ ΨΨ∫Bogoliubov近似*for very large , ...BHFFααα+→++00.......Ha Fh c+=++||,| (0)|(tiHϕϕϕα∂==相干态）||,| (0)|0 (tBiHψψψ∂==真空态）0001or ( )aNu xVψφ→→=BEC基态及其与外界的相互作用基态及其与外界的相互作用“证明” Bogoliubov近似*for very large , ...BHFFααα+≈++Bogoliubov近似可以正确描述近似可以正确描述 BEC基态及其与外界的相互作用基态及其与外界的相互作用1 00( )( )Da Daααα−=+* 00( )exp(),Daaααα+=−1 0* 00* 0( )( )() (),,BHDH Da Fa FFFHFFαααααα−++++==+++=++对称性破缺与热力学极限对称性破缺与热力学极限()0000kkk kHa aHHg V aaε++=→=++∑g V →常数U(1)对称性破缺0000lim lim0HgN VaaN →→∞ →∞==≠理想的BEC：几点启示理想的BEC：几点启示1.平移不变性2. U(1)对称性破缺3. 热力学极限阱中BEC怎样严格定义？Chau, Yang, Yu, 1996,.平移不变性2. U(1)对称性破缺3. 热力学极限阱中BEC怎样严格定义？Chau, Yang, Yu, 1996,准激发的宏观量子态准激发的宏观量子态•自发磁化自发磁化 (Spontaneous Magnetization) •准自旋波激发准自旋波激发 (Quasi-spin Wave ) •激子的相干凝聚激子的相干凝聚(Coherent Condensation)Heisenberg 模型Heisenberg 模型'''ˆ ll llllSSJH??⋅=∑[]'''' 21ˆlllllllzlzSSSSSSJH+−−+++=∑Ground states:Ferromagnet0Jˆ......4JH ↑↑↑↑↑↑=↑↑↑↑↑↑∑......0↓↑↓−↑↓↑=φfluc. quant.+自发磁化自发磁化()0?()HHTr eSSTr eαβαβ−−==[ ]1 2kkSαασ=∑()() 0()0()lim limHFHF BVTr eSSVTr eαβ α β−+−+ →→∞=≠()() 0()0()lim limHFHF VBTr eSTr eαββ−+−+ →∞→=XHHFHBS⇒+=+准自旋波激发与激子凝聚准自旋波激发与激子凝聚[ ]11,NikjjN k jN kkkqBeSNB Bπδ+ + =→∞+=⎡⎤⎯⎯⎯ →⎣⎦∑000kB== ↓↓↓?集体真空：激子系统s+∼ 电子 空穴Jin, Zhang, Liu ,Sun, Phys. Rev. B, 2003元激发的凝聚元激发的凝聚( )( )( )( )1, '11NikN k kkk k kneBNnmB BNπ=++Ψ=ΨΨ=∑∑00constantkBB→→应用：光学格子中冷原子的BEC与量子相变W. Kuhn, RMP, 1971宏观极限下的自发磁化宏观极限下的自发磁化0?N B+=()XHFHgSB BN BBξ+++=+⇒++[ ]11 2N kkSNBσ+++ ==→∑()() 0()0()lim limHFHF BVTr eBBTr eββ−+−+ →→∞=≠()() 0()0()lim limHFHF VBTr eB Tr eββ−+−+ →∞→=对称性破缺对称性破缺孙昌璞孙昌璞中国科学院理论物理研究所中国科学院理论物理研究所 序参量与对称性破缺• 非对角长程序C. N. Yang, PRL 7, 46 (1961)C. N. Yang, RMP 34, 694 (1962)有能隙超导体内磁通量子化超导体内磁通量子化超导体内电子波函数满足其中是外磁场形成的矢势，在超导体内部，所以不是单值函数，当电子绕环转一圈后，将增加定义，则满足当一个电子绕环转一圈而其他电子不动时，改变因子具体计算如下：所以几条定理几条定理• 能量是磁通的周期函数，周期是• 能量是磁通的偶函数• 系统的配分函数是的偶周期函数，周期是注意到，当改变时波函数不变和满足同样的薛定谔方程，所以对应的能量是一样的说明当时，与与Meissner效应的联系效应的联系超导体内的电流是，c是光速Meissner效应要求I=0，所以平衡态只能是下图中的最大值和最小值点如果开始系统处在D点，磁通穿过超导体环，诱导出电流，D点处的斜率为负，说明电流是负的，使穿过超导体环的净磁通减小，最终在E点达到平衡，因此• 超导态对应曲线上的最大值宏观量子态（宏观量子态（II）：超流）：超流超流的两种观点超流的两种观点• 序参量与准粒子• 非对角长程序序参量序参量C. N. Yang, RMP 34, 694 (1962)W. Kohn, RMP 42, 1 (1970)F. Bloch, PRA 7, 2187 (1973) Bloch环上的超流环上的超流F. Bloch, PRA 7, 2187 (1973)• 直接解多体波函数，无须假设序参量，考虑到波函数单值性EP旋子态旋子态yrast谱Bloch模型模型系统的哈密顿量为其中动量算符假设薛定谔方程的本征函数具有如下的形式前面一部分e指数里面是总动量和质心坐标的乘积后面一部分只和原子的相对坐标有关这样可以证明总动量算符作用在上等于零那么这里是系统的总质量如果，那么确实是的本征态并且本征值也就是系统的总能量为我们可以进一步证明，本征函数中的P确实是系统的总动量如果其中一个原子绕环转一圈再回到原来的位置然而系统哈密顿量是不变的，本征函数也应该是不变的，由波函数的单值性，原来后来必然要多出一个因子也就是如果环上所有原子都绕环转一圈再回到原来的位置就会多出的因子但从另一方面，只取决于原子的相对坐标，所以原子都绕一圈再回到原来的位置，它们的相对坐标是不变的，也应该不变，多出来的因子应该等于1，所以说明系统总动量P等于一个整数乘以PR等于一个整数乘以，这就是量子化条件我们注意到所以如果P改变，f的形式是不变的，所以的周期是，的周期也是小结小结哈密顿量本征函数本征值EPE(P) e(P)Bethe Ansatz严格解严格解E. H. Lieb and W. Liniger, PR 130, 1605 (1963)E. H. Lieb, PR 130, 1617 (1963)对于Lieb-Liniger模型，可以通过Bethe Ansatz严格解得到系统的yarst谱，进而分析系统的超流性质考虑排斥势情形且系统具有周期性边界条件两体问题两体问题对积分得到化简得当时，假设具有下面的形式其中都是实数，待定（I）由连接条件定出（II）由周期性边界条件定出三体问题三体问题系统哈密顿量（I）由连接条件当时，假设具有下面的形式得到（II）由周期性边界条件定出N体问题体问题对于N体问题，类似的推导可以得到Bethe Ansatz方程组其中这是因为通过解方程组可以得到，那么系统的总动量为系统的总能量为Bethe Ansatz方程的数值解方程的数值解Bethe Ansatz方程组可以重新写成我们假设，则等式左边大于零，等式右边第一项小于零，如果方程有解，就要求111111111112121111211111的取值和。