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1、两个重要极限的应用探讨学生：牛玺娟 指导教师：郭媛摘 要微积分中的两个重要极限是:; ,这1sinlim 0 xxxexxx 11lim两个重要极限是微积分学的基础.本文阐述了两个重要极限的思想意义,讨论了关于两个重要极限的变形极限的判断方法及应用,在分析重要极限的 6 个基本特征的基础上,给出了 4 个推广命题,ennn 11lim指出了应用对型极限的快捷计算方法,并给出了该重ennn 11lim 1要极限公式与实际应用的结合.关键词: 两个重要极限;推广;应用AbstractAbstractTwo important limits are the basis of calculus. Th
2、is paper discussed the essential meaning of two important limits and proved them using different method. Finally，the paper shows the application of two important limits in limits calculation and elaborated the relation between two important limits and Hospitals Rule.Key words：Two important limits; c
3、alculus; application; 第 1 章 绪论极限概念是由于某些实际问题的精确解答而产生的. 两个重要极限的证明必须以极限存在准则为基础，所以有必要首先介绍函数极限存在的两个准则。准则 1（夹逼准则）：如果（1）当 xU（x0，r）或（xM）时，( )( )( )g xf xh x（2）或 AxhAxg xxxx 00lim,lim AxhAxg xx lim,lim那么或存在，且等于 A. xf xx0lim xf x lim准则 2：单调有界数列必有极限。1.3 两个重要极限的形式通过极限存在准则的应用，得到两个重要极限。第一个重要极限的形式为：（1.1）0sinlim1 x
4、x x 第二个重要极限的形式为：（1.2） 1lim(1)x xex 第一个重要极限的数值意义实际上就是函数 y=sin x 在 x=0 处的导数，或者是正弦曲线在原点处的斜率.根据单调有界数列必有极限可知，第二个重要极限的极限存在， 高等数学教材上通常用字母 e 表示它，其实这个极限值就是无理数 e。这个极限形式很特殊，尤其是这个极限值怎么会和 e 联系上了。实际上，可以通过第二个重要极限的来历来说明它们之间的联系。谈起第二个重要极限的来历，要从复利率说起。假设 P0为本金，年利率为r，那么第一年末的利息为 P0r，本利的和就是 P0+ P0r，用 P1表示，即 P1=P0+ P0r 作为第
5、二年的本金，到第二年末，就有本利总和 P2= P0 (1+ r)2，这样一年一年继续下去，本金年年增加，利息也逐渐增多，到了第 n 年末，就有0(1)nnPPr（3.1） 和前边的方法一样，计算出如果每月把利息加入到本金一次，第一年年末 的本利的和是12 10(1)12rPP（3.2）如果存款本金为 100 元，年利率为 0.05，则用 3.1 式求得第一年末本金加利息为 105 元，若按 3.2 式计算，则第一年末本金加利息为 105.12 元。看来把利息加入到本金一次的时间越短，利息越多。那么，当这个时间“无穷短”的时候,利息会无限增多吗？假设在这一年中，利息是每一瞬间（每一年有 n 个瞬
6、间）加入到本金一次，上式中的 12 就变成 n,就得到10(1)nrPPn（3.3）为了便于计算，假设 r/n=1/m,就得到 n=mr，这样 3.3 式就变为下式1001(1)(1) nm rrPPPnm（3.4）这就归结到一个问题，就是求 的值，即第二个重要极限。其1lim(1)m mm 值为 e，所以 3.4 式变为，这时 n 年末就有，连续化以后，就10rPPe0nr nPPe得到 0( )xrP xPe（3.5）求 3.5 式的导数，得到 P（x）=r P（x） ，即导数和原函数成正比，凡是满足这个性质的，都叫复利率。例如植物的生长它新生的部分都立即和母体一样再生长。这就是大自然的复
7、利率，自然现象是不间断的、连续的，都属于此类问题。可以通过 y=ex在 x=0 的泰勒展开式，来近似计算这个极限值，首先计算y=ex的导数得 y=ex，进而可得(ex)(n)= ex。当 x=1 时，可以得到1111 1.2 13 2 1(1) . 2 1enn 当 n 无限增大，得到 e 的值，即 e=2.718281828于是，就得到了第二个重要极限的值。如古代数学家刘徽（公元 3 世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积时所用的割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。函数的极限与
8、自变量的变化过程密切相关，其自变量 x 的变化过程主要有两种，一种为任意地接近于某个有限值 x0，另一种是x趋于无穷大。如果在 xx0的过程中，对应的函数值 f（x）无限接近于确定的数值 A，那么就说 A 是函数 f（x）当 xx0时的极限，记作：0lim( ) xxf xA 如果在 x的过程中，对应的函数值 f（x）无限接近于确定的数值 A，那么就说 A 是函数 f（x）当 x时的极限，记作：lim( ) xf xA 函数的极限具有唯一性、局部有界性以及局部保号性。1.2 极限存在准则第 2 章 两个重要极限在微分学中的重要性微分学的基本概念导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数 f(x
9、)在点 x 处的导数 f(x)，就是计算极限（2.1） 0()( )lim xf xxf x x 当这一极限存在时，其值就是 f(x)。但这仅仅是停留在导数定义上的，如果求函数的导数都要计算极限 2.1 的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的广泛应用。事实上，在求函数的导数时，并不都需要计算极限 2.1，而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。下面来看一看基本求导公式是如何得来的。2.1 重要极限在三角函数求导过程中的作用以正弦函数 sin x 的求导公式的推导为例.由导数的定义002cos()sinsin()sin( )22(sin )lim
10、lim xxxxxxxxxxx0sin2lim cos()cos1cos2 2xx xxxxx 其中应用了第一个重要极限，即（令） 0sinlim1 xx x 00sinsin2limlim12xtx t xt2xt。求得(sin x)=后，其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可以利xcos用多个求导法则得到了。2.2 重要极限在指数函数和幂函数求导过程中的作用其次，再看看对数函数 log x 的求导公式的推导过程。由导数定义a11000log ()log(log)limlim log (1)lim log (1)x aaxxx aaaxxxxxxxxxxxx0111limlog (1)lo
11、glnx x aaxxexxxxa 其中应用了第二个重要极限，即1lim(1)x xex （令） 。 01lim log (1)lim(1)x ux axuxexu /xxu 求得了以后，指数函数和幂函数的求导公式就容易得出了。(log)ax可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式的过程中，特别是涉及三角函数的过程中起到了关键性的作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导公式就不可能得出，两个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的纽带作用。因为推到正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到这两个极限，而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发，经过有限的四则运算复合得到。因此
12、，从这两类函数的导数出发，利用函数的四则运算、复合和反函数求导法则，就能求得全部初等函数的导数。再由于积分是微分的逆运算，可以得到基本积分表，依靠他们能算出大量初等函数的积分。可以说，两个重要极限可以说是全部微分积分学的基础。第 4 章 关于两个重要极限的变形极限的判断方法微积分中的两个重要极限是:; .在实际运用中1sinlim 0xxxe xxx)11 (lim常遇到的是形如及的极限.经过前人长期的教学实践，BAaxsinlim ABax 1lim总结出了以下规律,姑且称作两要原则.4.1 第一个重要极限的变形极限的判断方法可化为第一重要极限的两要素BAaxsinlim 1.第一要素: 如
13、果这个条件不满足,它一定不可化为第一重要极限,需0limAax要用别的方法解决.如:该极限由于 A 元不是时的无穷小量,所以xxxsinlim x它不能化为第一重要极限. 2.第二要素:B 元与 A 元是同阶无穷小量.(x时)a定义: 为 A 与 B 的相近似数.),0(0lim, 0lim BBA axax与与CBAax lim下面讨论 C 的情况:(1)若 C=，即 B=(A),则即 B 与 A 是高阶无穷小量时,limsinlim BA BAaxax. BAaxsinlim(2) 若 C=0, 即 A=(B),则即 A 与 B 是高阶无穷小量时, 0limsinlim BA BAaxax
14、=0.BAaxsinlim (3)若 C0,即 C BA 则=,即 A 与 B 同阶时, 可以化为第一重要极限.BAaxsinlim CCBCAaxsinlimBAaxsinlim 方法是:B 元乘以相似系数,即就是第一重要极限,BCAaxsinlim结论:满足两要素的极限可以化为第一重要极限,方法是 B 元乘以相近BAaxsinlim 系数.例 1,xxx5sinlim 0 解:A 元与 5x 是 x0 时的无穷小量Q 满足第一要素又C=50Qxxx5lim 0满足第二要素所以该极限可以化为第一重要极限,即原式=xxx5sinlim 05555lim 0xxx例 2,sin() xlimxxx1解: =Q)1(limlimxxA xax 011limxxx满足第一要素又C=Q0211lim11limxxxxxxxx满足第二要素 该极限可以化为第一重要极限,即原式=21 2121)1sin(limxxxx例 3,求证4)2sin(lim 4xxx解: Q0)2(limlim 44 xA xx满足第一要素又C=Q04121lim42lim 44xxxxx满足第二要素 该极限可以化为第一重要极限原式=41 41)4(41)2sin(lim 4 xxx4.2 第二个重要极限的变形极限的判断方法可化为第二重要
