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1、 习题 2 (1-5 题)1. 分析下列方程各存在几个根，并找出每个根的含根区间：(1) ；0cosxx(2) ；0cos3xx(3) ；0sinxex(4) 。02xex解：(1) (A)0cosxx， ,xxxfcos)(0sin1)(xxf),(x,10cos0)0(f01cos1) 1cos(1) 1(f方程(A) 有唯一根 0 , 1*x(2) (B) 0cos3xx, , 时xxxfcos3)(0sin3)(xxf),(x，010cos03)0(f01cos31cos13) 1 (f方程(B) 有唯一根 1 , 0*x(3) (C)0sinxexxexsin, xxfsin)(1x
2、exf)(2方程(C)有无穷个正根，无负根在 内有一根 ，且22 ,2kk)( 1kx02lim)( 1 kxkk在内有一根，且kk2 ,22)( 2kx0) 12(lim)( 2 kxkk(示图如下示图如下) 3 , 2 , 1 , 0k)(2xf1234x(4) (D) 02xexy2 xex2)(1xf1 ,)(2 1xxfxexf)(2)(2xf方程(D) 有唯一根 1 1 , 0*x21x当 时 (D)与方程0x(E) 2x ex2x e y同解 2x当 时 (E)无根 10x2. 给定方程 ； 012 xx21x(1)试用二分法求其正根，使误差不超过 0.05；(2)若在0 , 2
3、上用二分法求根，要使精确度达到 6 位有效数，需二分几次？解：012 xx1) , ,01)(2xxxf1) 1 (f025. 0)5 . 1 (f1)2(f, 2 , 5 . 1 *x618034. 1251*x1.75(+) 2(+) )(5 . 11.625(+) 1.75(+)(5 . 11.5625(+) 1.625(+) )(5 . 11.625(+) )(5625. 1)(59375. 11102103125. 02)5625. 1625. 1 (6 . 159375. 1*x2 位有效近似值为 1.6 2) ， 00 aa20bb)(21 kkkbackkkabcx2121*，
4、 5102121k51102k60.162ln10ln51k只要 2 等分 18 次3. 为求的正根，试构造 3 种简单迭代格式，判断它们是0353 xx否收敛，且选择一种较快的迭代格式求出具有 3 位有效数的近似根。解：3)5(35)(23xxxxxf)35(353)(22xxxf当时， ; 当时 35x0)( xf35x0)( xf0335 3103)535(35)35(f， 0335 310)35(f03)0(f， 53)54(2)2(f93)59(3)3(fy2 3 3535x3由草图可知唯一正根)3 , 2(*x(1) ， ,353 xx)3(513xx)3(51)(3 1xx构造迭
5、代格式 (I) )3(513 1kkxx2 153x当 , 迭代格式(I)发散3 , 2x1512253)(2 1 x2) , , 构造迭代格式353 xx335 xx， (II)3135kkxx，3235)(xx 32322)35(1 355)35(31)( xxx当时 3 , 2x131 1251 35 1691 35)325(1 35)(33322 x当时3 , 2x3 , 218,13335, 325)3(),2()(3333222x迭代格式(II) 对任意 均收敛3 , 20x3) ， xxxx35352xx35构造迭代格式 (III)53 1 kkxx， 53)(3xx 531 2
6、3)3()53(21)( 22213 xxxxx当时3 , 2x1583521 2351 23531 23)(2223 x xxx当时 3 , 2x3 , 25 . 6,6)2(),3()(333x迭代格式(III) 对任意均收敛3 , 20x4) 301453. 01691 35)2()(max32232 x x5333 , 5232min1 2353min1 23)(max 22232332 xxxxx0680. 069 , 5 . 64min1 23取格式(III) 53 1 kkxx， 5 . 20x48998. 21x49095. 22x49086. 23x49. 2*x4. 用简单
7、迭代格式求方程的所有实根，精确至有 3 位有效02 . 03 xx数。解：2 . 0) 1(2 . 0)(23xxxxxf)31(313)(22xxxf当 时， ，31x0)( xf* 1xy* 3x* 2x1 2 13131x当时 31x0)( xf02 . 032 332 . 0) 131(31)31(f2 . 0)0(f，02 . 032 33)31(f2 . 0) 1 (f8 . 52 . 028)2(f， 2 . 0) 1(f02 . 0832 . 0) 141)(21()21(f， ，31, 1* 1x0 ,21* 2x2 , 1 * 3x1)2 . 03 xx迭代格式 ，2 .
8、03 1kkxx, 2 . 0)(3 xx03)(2xx当时，0 ,21x43)( x0 ,212 . 0, 2 . 081)0(),21()(x任取迭代格式收敛于 0 ,210x* 2x取 得 ,25. 00x215625. 01x210025. 02x209264. 03x209164. 04x209. 0* 2x2) , 2 . 03 xx32 . 0xx迭代格式 312 . 0kkxx, 32 . 0)(xx3232)2 . 0(31)2 . 0(31)( xxx当 时 2 , 1 x2 , 1 2 . 2,2 . 1)2(),1 ()(33x131)2 . 01 (31)( 32 x
9、任意 迭代格式收敛于 2 , 1 0x* 3x取 计算得，5 . 10x19348. 11x11695. 12x，09612. 13x09031. 14x, 08867. 15x08821. 16x09. 1* 3x3) xx2 . 012xx2 . 01迭代格式 (III) kkxx2 . 011xx2 . 01)(xxxxx2 . 011 . 0)2 . 0()2 . 01 (21)( 2221当时 31, 1x32 . 01,2 . 01)31(),1()(x31, 18084. 0,8944. 0, xxxg2 . 01)(2221 2)2 . 0()2 . 01 (212 . 012
10、)(xxxxxxg 1 . 0)2 . 01 (2)2 . 01(1 xxx21 21 )2 . 01)(3 . 02() 1 . 04 . 02()2 . 01 (xxxx当时，31, 1x0)( xg32 . 0131)31(g当时31, 1x3711. 032 . 013 . 0)31(1 . 0)( gx迭代格式(III)对任意均收敛于，取，31, 10x*x8 . 00x计算得 , , 866025. 01x876961. 02x878601. 03x, 878843. 04x879. 0* 1x5. 已知在区间内有且只有一个根，而当 时，)(xxba,a xb1)( kx(1)试问
11、如何将化为适用于迭代的形式？)(xx(2)将化为适用于迭代的形式，并求(弧度)附近的根。xxtan5 . 4x解：(1) 由 dydxdxdy1将 改写为 , 则 )(xx)(1xxdxxddxxd )(1)(1当时，这时迭代格式为,bax11)(1 kdxxd，)(1 1kkxx , 2 , 1 , 0k是局部收敛的。(2) 由图可知 xxtan在附近有一根，但 5 . 4xtgxtgx505.22)5 . 4(cos1|)(tan25 . 4xx将 改写为 xxtan227123. 423xxarctanxxarctan)(211)(xx当 时 23,2xxyarctan且 23,2)(x2xyarctan1 )2(11)( 2 x2 23迭代格式 ，kkxxarctan1, 2 , 1 , 0k对任意 均收敛23,20x取 得，5 . 40x49372. 41x49342. 42x493410. 43x具有 5 位有效数的根为 4934. 4*x
